Résoudre avec ln et exp — Terminale

Pour résoudre $e^{u} = a$, $\ln u = b$, et trouver un seuil $n$ tel que $q^n < a$.

$e^a = e^b \Leftrightarrow a = b$ ; $e^a < e^b \Leftrightarrow a < b$. Pour $a, b > 0$ : $\ln a = \ln b \Leftrightarrow a = b$ ; $\ln a < \ln b \Leftrightarrow a < b$. $q^n < a \Leftrightarrow n\ln q < \ln a$ : si $0 < q < 1$, $\ln q < 0$ et l'inégalité change de sens en divisant.

1. Domaine (arguments des ln > 0).
2. Isole l'exponentielle ou le logarithme.
3. Applique ln ou exp (fonctions croissantes : sens conservé).
4. Vérifie l'appartenance au domaine.

$0{,}9^n < 0{,}1 \Leftrightarrow n \ln 0{,}9 < \ln 0{,}1 \Leftrightarrow n > \frac{\ln 0{,}1}{\ln 0{,}9} \approx 21{,}9$ : $n \geq 22$.

Diviser par $\ln q < 0$ inverse l'inégalité ; ne pas oublier le domaine du ln.