Logarithme népérien : définition — Terminale

Pour résoudre $e^x = a$ et passer de l'exponentielle au logarithme.

Pour $x > 0$, $\ln x$ est l'unique réel $y$ tel que $e^y = x$. Ainsi $e^{\ln x} = x$ ($x > 0$) et $\ln(e^x) = x$ ($x \in \mathbb{R}$). $\ln 1 = 0$, $\ln e = 1$. Les courbes de exp et ln sont symétriques par rapport à $y = x$.

1. $e^x = a$ avec $a > 0$ ⇔ $x = \ln a$.
2. $e^x = a$ avec $a \leq 0$ : pas de solution.
3. $\ln x = b$ ⇔ $x = e^b$.

$e^x = 5 \Leftrightarrow x = \ln 5$ ; $\ln x = 2 \Leftrightarrow x = e^2$ ; $e^x = -1$ : aucune solution.

$\ln x$ n'existe que pour $x > 0$ ; $\ln 0$ et $\ln(-1)$ ne sont pas définis.