Al-Kashi et identités de normes — 1ère à Terminale

Dans un triangle quelconque, pour calculer un côté connaissant deux côtés et l'angle compris, ou un angle connaissant les trois côtés.

Al-Kashi : $BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2\,AB \times AC \times \cos\widehat{A}$. Identités : $\|\vec{u} + \vec{v}\|^2 = \|\vec{u}\|^2 + 2\,\vec{u} \cdot \vec{v} + \|\vec{v}\|^2$ et $\|\vec{u} - \vec{v}\|^2 = \|\vec{u}\|^2 - 2\,\vec{u} \cdot \vec{v} + \|\vec{v}\|^2$.

1. Repère l'angle compris entre les deux côtés connus.
2. Applique Al-Kashi pour le côté opposé.
3. Pour un angle : isole $\cos\widehat{A} = \dfrac{AB^2 + AC^2 - BC^2}{2\,AB \times AC}$.

AB = 5, AC = 8, $\widehat{A} = 60°$ : $BC^2 = 25 + 64 - 40 = 49$, BC = 7.

Si $\widehat{A} = 90°$, on retrouve Pythagore ; bien prendre l'angle compris entre les deux côtés.