SKILLCARDS

Les SKILLCARDS, les compétences à collectionner et maîtriser.

Chaque SKILLCARD est un outil : une méthode, une formule, un théorème, avec sa créature origami et sa couleur de niveau. Clique sur une carte pour la retourner. Au verso, son QR code ouvre la règle détaillée, les cours et les exercices pour gagner ses XP, jusqu’à faire évoluer sa créature.

6ème40 cartes

6èmeXP MAX#Formule#Probabilités
« a chances sur b » : la probabilité
$p = \frac{\text{issues favorables}}{\text{issues possibles}} = \frac{a}{b}$
Règle · Cours · Exercicesapp.jeraisonne.fr/c/HQHKJR
JeRaisonne
Formule
« a chances sur b » : la probabilité
$p = \frac{\text{issues favorables}}{\text{issues possibles}} = \frac{a}{b}$
Issues équiprobables ; $0 \le p \le 1$

Exemple
Dé à 6 faces : obtenir un nombre pair

Favorables : 2, 4, 6 → 3

Possibles : 6

→ $\frac{3}{6} = \frac{1}{2} = 50\,\%$

0 = impossible ; 1 = certain.

⚠ Attention
Une probabilité est toujours entre 0 et 1.
6èmeXP MAX#Technique de calcul#Fractions
Additionner des fractions de même dénominateur
$\frac{a}{d} + \frac{b}{d} = \frac{a+b}{d}$
Règle · Cours · Exercicesapp.jeraisonne.fr/c/9N3RPY
JeRaisonne
Technique de calcul
Additionner des fractions de même dénominateur
$\frac{a}{d} + \frac{b}{d} = \frac{a+b}{d}$
$d$
dénominateur commun, non nul

Dénominateurs différents mais multiples ? Transforme une fraction.

Additionne les numérateurs.

Garde le dénominateur, puis simplifie.

Exemple
$\frac{1}{2} + \frac{1}{4}$

$\frac{1}{2} = \frac{2}{4}$

$\frac{2}{4} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$

→ $\frac{3}{4}$

⚠ Attention
$\frac{2}{7} + \frac{3}{7} = \frac{5}{7}$ , pas $\frac{5}{14}$ .
6èmeXP MAX#Technique de calcul#Calcul
Additionner et soustraire des décimaux
Aligne les virgules (unités sous unités).

Règle · Cours · Exercicesapp.jeraisonne.fr/c/YDSYQ5
JeRaisonne
Technique de calcul
Additionner et soustraire des décimaux
Aligne les virgules (unités sous unités).

Complète avec des zéros à droite.

Calcule de droite à gauche avec les retenues.

Descends la virgule dans le résultat.

Exemple
$12{,}5 + 3{,}75$

$12{,}50 + 3{,}75$ (on complète avec un 0)

Centièmes : 0 + 5 = 5 ; dixièmes : 5 + 7 = 12, je pose 2 et retiens 1

→ $16{,}25$

⚠ Attention
N'aligne pas les chiffres à droite : on aligne les virgules.
6èmeXP MAX#Formule#Grandeurs
Aire du carré et du rectangle
$A = L \times \ell$
Règle · Cours · Exercicesapp.jeraisonne.fr/c/45R35V
JeRaisonne
6ème → 5èmeXP MAX#Tableau de synthèse#Géométrie
Angles des triangles particuliers
Isocèle : les deux angles à la base sont égaux.

Règle · Cours · Exercicesapp.jeraisonne.fr/c/7BPWDV
JeRaisonne
Tableau de synthèse
Angles des triangles particuliers
Triangle

Angles

Isocèle en A

$\widehat{B} = \widehat{C}$ (base)

Équilatéral

60° chacun

Rectangle en A

$\widehat{A} = 90°$ , $\widehat{B} + \widehat{C} = 90°$

Exemple
Isocèle en A, $\widehat{A} = 40°$

$180 - 40 = 140$ pour les deux angles de base

$140 \div 2 = 70$

→ $\widehat{B} = \widehat{C} = 70°$

⚠ Attention
Isocèle en A : les angles égaux sont B et C.
6ème → 5èmeXP MAX#Technique de calcul#Proportionnalité
Appliquer un pourcentage
$t\,\% \text{ de } Q = \frac{t}{100} \times Q$
Règle · Cours · Exercicesapp.jeraisonne.fr/c/5TR8Y5
JeRaisonne
6ème → 5èmeXP MAX#Méthode#Nombres
Arrondir un nombre décimal
Repère le rang demandé (unité, dixième, centième).

Règle · Cours · Exercicesapp.jeraisonne.fr/c/TU2E3Y
JeRaisonne
Méthode
Arrondir un nombre décimal
Repère le rang demandé (unité, dixième, centième).

Regarde le chiffre juste à sa droite.

0 à 4 : on garde. 5 à 9 : on ajoute 1.

On efface les chiffres suivants.

$12{,}468$ arrondi

Résultat

à l'unité

$12$

au dixième

$12{,}5$

au centième

$12{,}47$

⚠ Attention
$3{,}449$ au dixième : on regarde le 4 (centièmes), donc $3{,}4$ et pas $3{,}5$ .
6èmeXP MAX#Technique de calcul#Grandeurs
Calculer avec les durées
Additionne heures et minutes séparément.

Règle · Cours · Exercicesapp.jeraisonne.fr/c/YCYY4V
JeRaisonne
Technique de calcul
Calculer avec les durées
Durée

Vaut

1 h

60 min

1 min

60 s

½ h · ¼ h · ¾ h

30 · 15 · 45 min

1 jour

24 h

Additionne heures et minutes séparément.

Plus de 60 min ? −60 min, +1 h.

Durée entre deux horaires : avance jusqu'à une heure ronde.

Exemple
9 h 45 + 1 h 30

10 h 75 min

75 min = 1 h 15 min

→ 11 h 15

⚠ Attention
1,5 h = 1 h 30, pas 1 h 50.
6ème → 5èmeXP MAX#Tableau de synthèse#Arithmétique
Carrés des entiers de 1 à 20
$n^2 = n \times n$ .

Règle · Cours · Exercicesapp.jeraisonne.fr/c/GYQSJR
JeRaisonne
Tableau de synthèse
Carrés des entiers de 1 à 20
Quand l’utiliser ?
Utilise cette carte dès que tu dois reconnaître un carré parfait, simplifier une racine carrée ou vérifier qu'un nombre est un carré.

n² pour n de 1 à 20
n

n²

n

n²

1

1

6

36

2

4

7

49

3

9

8

64

4

16

9

81

5

25

10

100

n

n²

n

n²

11

121

16

256

12

144

17

289

13

169

18

324

14

196

19

361

15

225

20

400

Exemple
169 est-il un carré parfait ?

Je cherche 169 dans le tableau.

Je lis : $13^2 = 169$ .

→ Oui, 169 est un carré parfait.

⚠ Attention
Ne confonds pas $n^2$ et $2n$ : $4^2 = 16$ , pas $8$ . Rappel : $0^2 = 0$ est aussi un carré parfait.
6èmeXP MAX#Définition#Géométrie
Cercle : centre, rayon, diamètre, corde
Cercle de centre O, rayon $r$ : tous les points à la distance $r$ de O.

Règle · Cours · Exercicesapp.jeraisonne.fr/c/6NCB8B
JeRaisonne
Définition
Cercle : centre, rayon, diamètre, corde
Cercle de centre O, rayon $r$ : tous les points à la distance $r$ de O. Disque : la surface à l'intérieur (distance ≤ $r$ ).

Mot

C'est…

Rayon

[OA], A sur le cercle

Corde

[AB], A et B sur le cercle

Diamètre

corde passant par O : $d = 2r$

Exemple
Cercle de centre O, rayon 3 cm

M sur le cercle ⇔ OM = 3 cm

Le diamètre mesure 6 cm

⚠ Attention
Cercle = la ligne ; disque = la surface.
6ème → 5èmeXP MAX#Méthode#Fractions
Comparer des fractions
Même dénominateur : le plus grand numérateur gagne.

Règle · Cours · Exercicesapp.jeraisonne.fr/c/4DKU2C
JeRaisonne
Méthode
Comparer des fractions
Même dénominateur : le plus grand numérateur gagne.

Sinon : mets-les au même dénominateur.

Astuce : compare à 1 (haut < bas ⇔ fraction < 1).

Exemple
$\frac{2}{3}$ ou $\frac{5}{6}$ ?

$\frac{2}{3} = \frac{4}{6}$

$\frac{4}{6} < \frac{5}{6}$

→ $\frac{2}{3} < \frac{5}{6}$

⚠ Attention
Même numérateur : $\frac{1}{3} > \frac{1}{5}$ (un tiers est plus gros qu'un cinquième).
6èmeXP MAX#Méthode#Nombres
Comparer deux nombres décimaux
Compare les parties entières.

Règle · Cours · Exercicesapp.jeraisonne.fr/c/D899VQ
JeRaisonne
Méthode
Comparer deux nombres décimaux
Compare les parties entières.

Si elles sont égales, compare les dixièmes, puis les centièmes…

Astuce : ajoute des zéros pour avoir le même nombre de chiffres après la virgule.

Exemple
$3{,}8$ ou $3{,}75$ ?

Parties entières égales : 3 et 3

$3{,}80$ et $3{,}75$ : 80 centièmes > 75 centièmes

→ $3{,}8 > 3{,}75$

⚠ Attention
Plus de chiffres ne veut pas dire plus grand : $3{,}8 > 3{,}75$ même si 75 > 8.
6èmeXP MAX#Méthode#Pensée algébrique
Compléter une égalité à trou a × … = b
$a \times \ldots = b \;\Longrightarrow\; \ldots = b \div a = \frac{b}{a}$
Règle · Cours · Exercicesapp.jeraisonne.fr/c/5W4PYA
JeRaisonne
Méthode
Compléter une égalité à trou a × … = b
$a \times \ldots = b \;\Longrightarrow\; \ldots = b \div a = \frac{b}{a}$
$a \neq 0$

Repère le facteur connu $a$ et le produit $b$ .

Calcule $b \div a$ (ou écris $\frac{b}{a}$ ).

Vérifie : $a \times$ résultat $= b$ .

Exemple
$4 \times \ldots = 30$

$30 \div 4 = 7{,}5$

Vérif : $4 \times 7{,}5 = 30$ ✓

→ $7{,}5$

⚠ Attention
Ce n'est pas une soustraction : $4 \times 26 \neq 30$ .
6èmeXP MAX#Procédure#Géométrie
Construire le symétrique d'un point
A' symétrique de A par rapport à (d) ⇔ (d) est la médiatrice de [AA'].

Règle · Cours · Exercicesapp.jeraisonne.fr/c/SC4F43
JeRaisonne
Procédure
Construire le symétrique d'un point
A' symétrique de A par rapport à (d) ⇔ (d) est la médiatrice de [AA'].

Perpendiculaire à (d) passant par A ; elle coupe (d) en H.

Reporte la longueur : $HA' = HA$ , de l'autre côté.

Un point de (d) est son propre symétrique.

Ce qui est conservé
Longueurs, angles, aires, alignement : la figure symétrique est superposable par pliage.

⚠ Attention
(AA') doit être perpendiculaire à l'axe.
6ème → 5èmeXP MAX#Méthode#Calcul
Contrôler avec un ordre de grandeur
Remplace chaque nombre par un nombre simple et proche.

Règle · Cours · Exercicesapp.jeraisonne.fr/c/6Q663C
JeRaisonne
Méthode
Contrôler avec un ordre de grandeur
Remplace chaque nombre par un nombre simple et proche.

Calcule de tête.

Compare : ton résultat doit être proche.

Exemple
$48{,}7 \times 3{,}1 = ?$

$48{,}7 \approx 50$ et $3{,}1 \approx 3$

$50 \times 3 = 150$

→ $150{,}97$ est plausible ; $15{,}097$ ne l'est pas

⚠ Attention
L'ordre de grandeur contrôle le résultat, il ne le remplace pas.
6èmeXP MAX#Tableau de synthèse#Grandeurs
Convertir des longueurs
Chaque unité vaut 10 fois celle de droite.

Règle · Cours · Exercicesapp.jeraisonne.fr/c/KMFBH7
JeRaisonne
6èmeXP MAX#Technique de calcul#Calcul
Diviser un décimal par un entier
Divise la partie entière.

Règle · Cours · Exercicesapp.jeraisonne.fr/c/XNBG6U
JeRaisonne
Technique de calcul
Diviser un décimal par un entier
Divise la partie entière.

Avant d'abaisser les dixièmes, place la virgule au quotient.

Continue ; ajoute des zéros au dividende si besoin.

Vérifie : quotient × diviseur = dividende.

Exemple
$14{,}7 \div 3$

$14 \div 3 = 4$ , reste 2

On abaisse le 7 → virgule au quotient

$27 \div 3 = 9$

→ $4{,}9$ (vérif : $4{,}9 \times 3 = 14{,}7$ )

⚠ Attention
N'oublie pas la virgule : $14{,}7 \div 3 \neq 49$ .
6ème → 5èmeXP MAX#Propriété#Fractions
Fractions égales
$\frac{a}{b} = \frac{a \times k}{b \times k}$
Règle · Cours · Exercicesapp.jeraisonne.fr/c/8FQGFM
JeRaisonne
Propriété
Fractions égales
$\frac{a}{b} = \frac{a \times k}{b \times k}$
$k$
nombre non nul, le même en haut et en bas

$b \neq 0$ , $k \neq 0$

Exemple
Simplifier $\frac{12}{18}$

6 divise 12 et 18

$\frac{12 \div 6}{18 \div 6} = \frac{2}{3}$

→ $\frac{12}{18} = \frac{2}{3}$

⚠ Attention
Jamais d'addition : $\frac{1}{2} \neq \frac{1+1}{2+1} = \frac{2}{3}$ .
6ème → 5èmeXP MAX#Formule#Calcul
La division euclidienne
$a = b \times q + r \quad \text{avec } r < b$
Règle · Cours · Exercicesapp.jeraisonne.fr/c/FZ8ZNZ
JeRaisonne
Formule
La division euclidienne
$a = b \times q + r \quad \text{avec } r < b$
$a$
dividende

$b$
diviseur

$q$
quotient

$r$
reste

Cherche le plus grand multiple de $b$ qui ne dépasse pas $a$ .

Reste : $r = a - b \times q$ .

Vérifie : $r < b$ .

Exemple
47 bonbons, sachets de 6

$6 \times 7 = 42 \le 47$ et $6 \times 8 = 48 > 47$

$47 - 42 = 5$

→ $47 = 6 \times 7 + 5$ : 7 sachets, 5 bonbons restants

⚠ Attention
Reste toujours < diviseur : $47 = 6 \times 6 + 11$ n'est pas la division euclidienne.
6ème → 5èmeXP MAX#Propriété#Algèbre
Le 1, neutre de la multiplication
$1 \times x = x$
Règle · Cours · Exercicesapp.jeraisonne.fr/c/TYAJ5J
JeRaisonne
Propriété
Le 1, neutre de la multiplication
Élément neutre de la multiplication
$1 \times x = x$
$x$

n'importe quelle variable ou expression

Valable pour tout nombre ou expression littérale.

Ce que ça change
Quand une variable apparaît seule, elle a un coefficient caché : 1.

$x = 1 \times x = 1x$

Ecrire ce $1$ permet de réduire ou factoriser comme les autres termes.

Exemple
Réduire $x + 3x$

Repère que $x$ est seul → pose $x = 1x$

$1x + 3x$

Même facteur $x$ → additionne les coefficients : $(1 + 3)x$

→ $4x$

Quand l’utiliser ?
Utilise cette propriété dès qu'une variable sans coefficient apparaît dans une somme ou une factorisation : $x + 2x$ , $x - 5x$ , $x + x$ …

⚠ Attention
Erreur fréquente : oublier le $1$ caché.

❌ $x + 3x = 3x$ (on ignore le $x$ seul) ❌ $x + 3x = 4$ (on oublie la variable) ✅ $x + 3x = 1x + 3x = 4x$
6èmeXP MAX#Méthode#Pensée algébrique
Le schéma en barres
Une barre-unité pour l'inconnue.

Règle · Cours · Exercicesapp.jeraisonne.fr/c/8SRRBC
JeRaisonne
Méthode
Le schéma en barres
Une barre-unité pour l'inconnue.

Les autres quantités : barres (« fois plus ») ou morceaux (« de plus »).

Écris le total sur l'ensemble.

Retire le connu, partage le reste.

Exemple
Léo a 12 billes de plus que Sam. Ensemble : 40.

Sam : ▭ · Léo : ▭ + 12

$40 - 12 = 28$ pour 2 barres

1 barre : $28 \div 2 = 14$

→ Sam 14, Léo 26

⚠ Attention
« 3 de plus » = un morceau ajouté ; « 3 fois plus » = 3 barres.

m²	dm²	cm²
1	100	10 000

Triangle	Angles
Isocèle en A	$\widehat{B} = \widehat{C}$ (base)
Équilatéral	60° chacun
Rectangle en A	$\widehat{A} = 90°$ , $\widehat{B} + \widehat{C} = 90°$

%	Revient à
50 %	÷ 2
25 %	÷ 4
10 %	÷ 10
1 %	÷ 100

$12{,}468$ arrondi	Résultat
à l'unité	$12$
au dixième	$12{,}5$
au centième	$12{,}47$

Durée	Vaut
1 h	60 min
1 min	60 s
½ h · ¼ h · ¾ h	30 · 15 · 45 min
1 jour	24 h

n	n²	n	n²
1	1	6	36
2	4	7	49
3	9	8	64
4	16	9	81
5	25	10	100

n	n²	n	n²
11	121	16	256
12	144	17	289
13	169	18	324
14	196	19	361
15	225	20	400

Mot	C'est…
Rayon	[OA], A sur le cercle
Corde	[AB], A et B sur le cercle
Diamètre	corde passant par O : $d = 2r$

km	hm	dam	m	dm
1 000 m	100 m	10 m	1 m	0,1 m

cm	mm
0,01 m	0,001 m

6ème → 5èmeXP MAX#Tableau de synthèse#Nombres

Les écritures d'un nombre décimal

1 chiffre après la virgule → dénominateur 10 ; 2 chiffres → 100 ; 3 → 1 000.

Règle · Cours · Exercicesapp.jeraisonne.fr/c/UNNAZK

Tableau de synthèse

Les écritures d'un nombre décimal

Un même nombre, 4 écritures

Virgule	Fraction	Mixte	%
$0{,}25$	$\frac{25}{100}$	—	$25\,\%$
$3{,}7$	$\frac{37}{10}$	$3+\frac{7}{10}$	$370\,\%$
$0{,}6$	$\frac{6}{10}$	—	$60\,\%$
$1{,}05$	$\frac{105}{100}$	$1+\frac{5}{100}$	$105\,\%$

1 chiffre après la virgule → dénominateur 10 ; 2 chiffres → 100 ; 3 → 1 000.
Pour le %, écris la fraction sur 100 : $\frac{a}{100} = a\,\%$ .

⚠ Attention

$0{,}5 = \frac{50}{100} = 50\,\%$ , et non $5\,\%$ .

6èmeXP MAX#Méthode#Proportionnalité
Linéarité et retour à l'unité
Divise pour trouver la valeur pour 1.

Règle · Cours · Exercicesapp.jeraisonne.fr/c/YQKCPF
JeRaisonne
Méthode
Linéarité et retour à l'unité
Procédure

Exemple (4 croissants → 3,60 €)

Multiplier

8 = 4 × 2 → 3,60 × 2 = 7,20 €

Additionner

12 = 8 + 4 → 7,20 + 3,60 = 10,80 €

Retour à l'unité

1 → 0,90 € ; 7 → 6,30 €

Retour à l'unité
Divise pour trouver la valeur pour 1.

Multiplie par la quantité voulue.

⚠ Attention
On ne rajoute jamais le même nombre aux deux grandeurs.
6èmeXP MAX#Méthode#Données
Lire un tableau ou un diagramme
Lis le titre et les unités.

Règle · Cours · Exercicesapp.jeraisonne.fr/c/9KYJ3H
JeRaisonne
Méthode
Lire un tableau ou un diagramme
Lis le titre et les unités.

Repère l'échelle des axes.

Tableau : croise ligne et colonne.

Barres : lis la hauteur ; circulaire : la part du disque.

Exemple : venir au collège
Moyen

Élèves

Bus

12

Vélo

8

À pied

5

⚠ Attention
Vérifie l'échelle : une graduation ne vaut pas toujours 1.
6ème → 5èmeXP MAX#Propriété#Géométrie
Médiatrice d'un segment
$M \in \text{médiatrice de } [AB] \iff MA = MB$
Règle · Cours · Exercicesapp.jeraisonne.fr/c/CKXN2B
JeRaisonne
Propriété
Médiatrice d'un segment
Médiatrice de [AB] : droite perpendiculaire à [AB] passant par son milieu.

Propriété caractéristique
$M \in \text{médiatrice de } [AB] \iff MA = MB$
Construire au compas
Arc de centre A, rayon > ½ AB.

Même rayon, arc de centre B.

Trace la droite qui joint les 2 intersections.

⚠ Attention
Perpendiculaire et par le milieu : les deux conditions sont nécessaires.
6èmeXP MAX#Procédure#Géométrie
Mesurer un angle au rapporteur
Centre du rapporteur sur le sommet.

Règle · Cours · Exercicesapp.jeraisonne.fr/c/CMDT9Z
JeRaisonne
Procédure
Mesurer un angle au rapporteur
Mesurer
Centre du rapporteur sur le sommet.

Zéro sur un côté de l'angle.

Lis sur la graduation qui part de ce zéro.

Contrôle : aigu < 90° < obtus.

Construire $\widehat{xOy} = 50°$
Trace [Ox) ; centre sur O, zéro sur [Ox).

Marque un point à 50° ; trace [Oy).

⚠ Attention
Double graduation : un angle aigu lu « 40 / 140 » mesure 40°.
6èmeXP MAX#Technique de calcul#Calcul
Multiplier deux nombres décimaux
Multiplie sans les virgules.

Règle · Cours · Exercicesapp.jeraisonne.fr/c/AZZXAW
JeRaisonne
Technique de calcul
Multiplier deux nombres décimaux
Multiplie sans les virgules.

Compte les chiffres après la virgule dans les deux facteurs.

Place la virgule pour en avoir autant dans le résultat.

Contrôle avec un ordre de grandeur.

Exemple
$2{,}4 \times 1{,}3$

$24 \times 13 = 312$

1 + 1 = 2 chiffres après la virgule

Contrôle : $2 \times 1 = 2$ , $3 \times 2 = 6$ : entre 2 et 6 ✓

→ $3{,}12$

⚠ Attention
Multiplier par un nombre plus petit que 1 donne un résultat plus petit : $8 \times 0{,}5 = 4$ .

Procédure	Exemple (4 croissants → 3,60 €)
Multiplier	8 = 4 × 2 → 3,60 × 2 = 7,20 €
Additionner	12 = 8 + 4 → 7,20 + 3,60 = 10,80 €
Retour à l'unité	1 → 0,90 € ; 7 → 6,30 €

Moyen	Élèves
Bus	12
Vélo	8
À pied	5

6èmeXP MAX#Technique de calcul#Calcul

Multiplier ou diviser par 10, 100, 1 000

Multiplier par $0{,}1$ , c'est diviser par 10 : le résultat est plus petit.

Règle · Cours · Exercicesapp.jeraisonne.fr/c/UZSQYH

Technique de calcul

Multiplier ou diviser par 10, 100, 1 000

Opération	Décalage	Exemple
$\times 10$	1 rang à gauche	$3{,}57 \to 35{,}7$
$\times 100$	2 rangs à gauche	$3{,}57 \to 357$
$\div 10$ ou $\times 0{,}1$	1 rang à droite	$42 \to 4{,}2$
$\div 1000$ ou $\times 0{,}001$	3 rangs à droite	$5 \to 0{,}005$

Multiplier par $0{,}1$ , c'est diviser par 10 : le résultat est plus petit.

⚠ Attention

Pas de « on ajoute un zéro » : $2{,}5 \times 10 = 25$ , pas $2{,}50$ .

6èmeXP MAX#Tableau de synthèse#Géométrie
Nommer un angle selon sa mesure
Supplémentaires : somme 180°.

Règle · Cours · Exercicesapp.jeraisonne.fr/c/ZJF5Z8
JeRaisonne
6ème → 5èmeXP MAX#Formule#Grandeurs
Périmètre d'un cercle
$P = \pi \times d = 2 \times \pi \times r$
Règle · Cours · Exercicesapp.jeraisonne.fr/c/C72A2F
JeRaisonne
Formule
Périmètre d'un cercle
$P = \pi \times d = 2 \times \pi \times r$
$d$
diamètre

$r$
rayon ( $d = 2r$ )

$\pi$
≈ 3,14

Exemple
Roue de diamètre 60 cm

$P = \pi \times 60 = 60\pi$

$60 \times 3{,}14 = 188{,}4$

→ $P \approx 188{,}4$ cm

⚠ Attention
Avec le rayon, pense à le doubler : $r = 5 \Rightarrow P = 10\pi$ .
6èmeXP MAX#Formule#Grandeurs
Périmètre du carré et du rectangle
$P = 4 \times c$
Règle · Cours · Exercicesapp.jeraisonne.fr/c/3NDTM3
JeRaisonne
6èmeXP MAX#Technique de calcul#Fractions
Prendre une fraction d'une quantité
$\frac{a}{b} \text{ de } Q = (Q \div b) \times a$
Règle · Cours · Exercicesapp.jeraisonne.fr/c/NFHH54
JeRaisonne
Technique de calcul
Prendre une fraction d'une quantité
$\frac{a}{b} \text{ de } Q = (Q \div b) \times a$
$b$
nombre de parts égales

$a$
nombre de parts prises

Exemple
$\frac{3}{4}$ de 20 €

Une part : $20 \div 4 = 5$ €

Trois parts : $5 \times 3 = 15$ €

→ 15 €

« de » se traduit par « × » : $\frac{3}{4} \times 20 = 15$ .

⚠ Attention
On divise par le dénominateur (le bas), pas par le numérateur.

Angle	Mesure
nul	0°
aigu	entre 0° et 90°
droit	90°
obtus	entre 90° et 180°
plat	180°
plein	360°

6èmeXP MAX#Tableau de synthèse#Espace

Reconnaître les solides

On reconnaît un solide à ses faces : pavé (6 rectangles), cube (6 carrés), prisme (2 bases polygones…

Règle · Cours · Exercicesapp.jeraisonne.fr/c/YBS5MR

Tableau de synthèse

Reconnaître les solides

Solide	Reconnaissance	Objet
Pavé droit	6 faces rectangles	boîte
Cube	6 faces carrées	dé
Prisme droit	2 bases polygones	tente
Pyramide	1 base, sommet	pyramide
Cylindre	2 disques	canette
Cône	1 disque, sommet	cornet
Boule	toute ronde	ballon

⚠ Attention

Le cube est un pavé droit particulier.

6èmeXP MAX#Méthode#Proportionnalité
Reconnaître une situation de proportionnalité
Si une grandeur est ×2 (×3, ÷2…),

Règle · Cours · Exercicesapp.jeraisonne.fr/c/6KNW9C
JeRaisonne
Méthode
Reconnaître une situation de proportionnalité
Quand l’utiliser ?
« prix au kilo », « à vitesse constante », « recette pour 4 personnes »… Vérifie avant de calculer !

Si une grandeur est ×2 (×3, ÷2…),

l'autre doit être ×2 (×3, ÷2…) aussi,

et cela pour toutes les valeurs.

Situation

Proportionnel ?

Prix et masse (prix au kg)

Oui

Taxi : 4 € + 1 €/km

Non

Âge et taille

Non

Périmètre et côté du carré

Oui

⚠ Attention
« Les deux augmentent » ne suffit pas : il faut le même multiplicateur.
6èmeXP MAX#Algorithme#Pensée informatique
Répéter une suite d'instructions
Repère le motif qui se répète.

Règle · Cours · Exercicesapp.jeraisonne.fr/c/4DBX6G
JeRaisonne
Algorithme
Répéter une suite d'instructions
Repère le motif qui se répète.

Mets-le dans un bloc « répéter n fois ».

Exécute à la main pour vérifier.

Exemple
Tracer un carré de côté 50

répéter 4 fois :

avancer de 50

tourner de 90°

Figure

Répéter

Tourner de

Triangle équilatéral

3

120°

Carré

4

90°

Hexagone régulier

6

60°

⚠ Attention
On tourne de 360° ÷ n (pas de l'angle intérieur).
6ème → 5èmeXP MAX#Théorème#Géométrie
Somme des angles d'un triangle
$\widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} = 180°$
Règle · Cours · Exercicesapp.jeraisonne.fr/c/BR2JZ6
JeRaisonne
6èmeXP MAX#Tableau de synthèse#Arithmétique
Table de multiplication de 9
La somme des chiffres d'un multiple de 9 est toujours divisible par 9.

Règle · Cours · Exercicesapp.jeraisonne.fr/c/2C4GMW
JeRaisonne
Tableau de synthèse
Table de multiplication de 9
Table de × 9
×

=

×

=

9 × 1

9

9 × 6

54

9 × 2

18

9 × 7

63

9 × 3

27

9 × 8

72

9 × 4

36

9 × 9

81

9 × 5

45

9 × 10

90

✦ Astuce
La somme des chiffres d'un multiple de 9 est toujours divisible par 9. Ex. : 63 → 6 + 3 = 9 ✓ Ex. : 72 → 7 + 2 = 9 ✓

⚠ Attention
Ne confonds pas 9 × 6 = 54 et 9 × 7 = 63 : ces deux résultats sont souvent inversés !
6èmeXP MAX#Tableau de synthèse#Arithmétique
Table de multiplication par 8
La multiplication est commutative : $7 \times 8 = 8 \times 7 = 56$ Utilise la table dans les deux sens !

Règle · Cours · Exercicesapp.jeraisonne.fr/c/G67PSU
JeRaisonne
Tableau de synthèse
Table de multiplication par 8
Table de × 8
×8

=

×8

=

1×8

8

6×8

48

2×8

16

7×8

56

3×8

24

8×8

64

4×8

32

9×8

72

5×8

40

10×8

80

Astuce
La multiplication est commutative : $7 \times 8 = 8 \times 7 = 56$ Utilise la table dans les deux sens !

Quand l’utiliser ?
Utilise cette table dès que tu multiplies un nombre par 8 ou que tu cherches un multiple de 8.

⚠ Attention
Ne confonds pas : $7 \times 8 = \mathbf{56}$ $7 \times 9 = \mathbf{63}$ Ces deux résultats sont souvent mélangés — relis-les plusieurs fois !
6ème → 5èmeXP MAX#Définition#Fractions
Une fraction est un quotient
$b \times \frac{a}{b} = a$
Règle · Cours · Exercicesapp.jeraisonne.fr/c/7BDZ4V
JeRaisonne
Définition
Une fraction est un quotient
$b \times \frac{a}{b} = a$
$a$
numérateur (dividende)

$b$
dénominateur (diviseur), $b \neq 0$

$\dfrac{a}{b} = a \div b$ : c'est la valeur exacte du quotient, qu'il soit entier, décimal ou non.

Exemple
Complète : $3 \times \ldots = 7$

Le nombre cherché est $\frac{7}{3}$

Vérif : $3 \times \frac{7}{3} = 7$

→ $\frac{7}{3}$

⚠ Attention
$\frac{7}{3} \neq 2{,}33$ : $2{,}33$ n'est qu'une valeur approchée.
6èmeXP MAX#Tableau de synthèse#Nombres
Valeur d'un chiffre selon son rang
Chaque rang vaut 10 fois celui de droite.

Règle · Cours · Exercicesapp.jeraisonne.fr/c/4GNM84
JeRaisonne
Tableau de synthèse
Valeur d'un chiffre selon son rang
Tableau de numération
Rang

Vaut

milliard

1 000 000 000

million

1 000 000

millier

1 000

centaine

100

dizaine

10

unité

1

dixième

0,1

centième

0,01

Chaque rang vaut 10 fois celui de droite. Le millième vaut 0,001.

Exemple
Dans $4\,507{,}38$

le 5 est le chiffre des centaines : il vaut 500

le 8 est le chiffre des centièmes : il vaut 0,08

⚠ Attention
« Chiffre des dizaines » de 4 507 : 0. « Nombre de dizaines » : 450.

Situation	Proportionnel ?
Prix et masse (prix au kg)	Oui
Taxi : 4 € + 1 €/km	Non
Âge et taille	Non
Périmètre et côté du carré	Oui

Figure	Répéter	Tourner de
Triangle équilatéral	3	120°
Carré	4	90°
Hexagone régulier	6	60°

×	=	×	=
9 × 1	9	9 × 6	54
9 × 2	18	9 × 7	63
9 × 3	27	9 × 8	72
9 × 4	36	9 × 9	81
9 × 5	45	9 × 10	90

×8	=	×8	=
1×8	8	6×8	48
2×8	16	7×8	56
3×8	24	8×8	64
4×8	32	9×8	72
5×8	40	10×8	80

Rang	Vaut
milliard	1 000 000 000
million	1 000 000
millier	1 000
centaine	100
dizaine	10
unité	1
dixième	0,1
centième	0,01

5ème16 cartes

5ème → 2ndeXP MAX#Technique de calcul#Calcul numérique
Additionner des fractions
$\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{a \times d + c \times b}{b \times d}$
Règle · Cours · Exercicesapp.jeraisonne.fr/c/WBC3SP
JeRaisonne
Technique de calcul
Additionner des fractions
Règle générale
$\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{a \times d + c \times b}{b \times d}$
$a, c$

numérateurs

$b, d$

dénominateurs

Valable quand b ≠ 0 et d ≠ 0

Méthode
Les dénominateurs sont-ils égaux ? Si oui, additionne directement les numérateurs → étape 3.

Sinon, trouve le PPCM (ou un multiple commun) des dénominateurs.

Convertis chaque fraction : multiplie numérateur ET dénominateur par le même nombre.

Additionne les numérateurs, garde le dénominateur commun.

Simplifie la fraction si possible.

Exemple
$\dfrac{1}{4} + \dfrac{2}{3}$ — dénominateurs différents, PPCM = 12

$\dfrac{1}{4} = \dfrac{1 \times 3}{4 \times 3} = \dfrac{3}{12}$

$\dfrac{2}{3} = \dfrac{2 \times 4}{3 \times 4} = \dfrac{8}{12}$

$\dfrac{3}{12} + \dfrac{8}{12} = \dfrac{3 + 8}{12} = \dfrac{11}{12}$

→ $\dfrac{11}{12}$ (déjà simplifiée)

⚠ Attention
Ne jamais additionner les dénominateurs !
$\frac{1}{4}+\frac{2}{3} \neq \frac{3}{7}$
Seuls les numérateurs s'additionnent, une fois le dénominateur commun trouvé.

Pense aussi à simplifier le résultat final.
6ème → 5èmeXP MAX#Tableau de synthèse#Géométrie
Angles des triangles particuliers
Isocèle : les deux angles à la base sont égaux.

Règle · Cours · Exercicesapp.jeraisonne.fr/c/7BPWDV
JeRaisonne
Tableau de synthèse
Angles des triangles particuliers
Triangle

Angles

Isocèle en A

$\widehat{B} = \widehat{C}$ (base)

Équilatéral

60° chacun

Rectangle en A

$\widehat{A} = 90°$ , $\widehat{B} + \widehat{C} = 90°$

Exemple
Isocèle en A, $\widehat{A} = 40°$

$180 - 40 = 140$ pour les deux angles de base

$140 \div 2 = 70$

→ $\widehat{B} = \widehat{C} = 70°$

⚠ Attention
Isocèle en A : les angles égaux sont B et C.
6ème → 5èmeXP MAX#Technique de calcul#Proportionnalité
Appliquer un pourcentage
$t\,\% \text{ de } Q = \frac{t}{100} \times Q$
Règle · Cours · Exercicesapp.jeraisonne.fr/c/5TR8Y5
JeRaisonne
6ème → 5èmeXP MAX#Méthode#Nombres
Arrondir un nombre décimal
Repère le rang demandé (unité, dixième, centième).

Règle · Cours · Exercicesapp.jeraisonne.fr/c/TU2E3Y
JeRaisonne
Méthode
Arrondir un nombre décimal
Repère le rang demandé (unité, dixième, centième).

Regarde le chiffre juste à sa droite.

0 à 4 : on garde. 5 à 9 : on ajoute 1.

On efface les chiffres suivants.

$12{,}468$ arrondi

Résultat

à l'unité

$12$

au dixième

$12{,}5$

au centième

$12{,}47$

⚠ Attention
$3{,}449$ au dixième : on regarde le 4 (centièmes), donc $3{,}4$ et pas $3{,}5$ .
6ème → 5èmeXP MAX#Tableau de synthèse#Arithmétique
Carrés des entiers de 1 à 20
$n^2 = n \times n$ .

Règle · Cours · Exercicesapp.jeraisonne.fr/c/GYQSJR
JeRaisonne
Tableau de synthèse
Carrés des entiers de 1 à 20
Quand l’utiliser ?
Utilise cette carte dès que tu dois reconnaître un carré parfait, simplifier une racine carrée ou vérifier qu'un nombre est un carré.

n² pour n de 1 à 20
n

n²

n

n²

1

1

6

36

2

4

7

49

3

9

8

64

4

16

9

81

5

25

10

100

n

n²

n

n²

11

121

16

256

12

144

17

289

13

169

18

324

14

196

19

361

15

225

20

400

Exemple
169 est-il un carré parfait ?

Je cherche 169 dans le tableau.

Je lis : $13^2 = 169$ .

→ Oui, 169 est un carré parfait.

⚠ Attention
Ne confonds pas $n^2$ et $2n$ : $4^2 = 16$ , pas $8$ . Rappel : $0^2 = 0$ est aussi un carré parfait.
6ème → 5èmeXP MAX#Méthode#Fractions
Comparer des fractions
Même dénominateur : le plus grand numérateur gagne.

Règle · Cours · Exercicesapp.jeraisonne.fr/c/4DKU2C
JeRaisonne
Méthode
Comparer des fractions
Même dénominateur : le plus grand numérateur gagne.

Sinon : mets-les au même dénominateur.

Astuce : compare à 1 (haut < bas ⇔ fraction < 1).

Exemple
$\frac{2}{3}$ ou $\frac{5}{6}$ ?

$\frac{2}{3} = \frac{4}{6}$

$\frac{4}{6} < \frac{5}{6}$

→ $\frac{2}{3} < \frac{5}{6}$

⚠ Attention
Même numérateur : $\frac{1}{3} > \frac{1}{5}$ (un tiers est plus gros qu'un cinquième).
6ème → 5èmeXP MAX#Méthode#Calcul
Contrôler avec un ordre de grandeur
Remplace chaque nombre par un nombre simple et proche.

Règle · Cours · Exercicesapp.jeraisonne.fr/c/6Q663C
JeRaisonne
Méthode
Contrôler avec un ordre de grandeur
Remplace chaque nombre par un nombre simple et proche.

Calcule de tête.

Compare : ton résultat doit être proche.

Exemple
$48{,}7 \times 3{,}1 = ?$

$48{,}7 \approx 50$ et $3{,}1 \approx 3$

$50 \times 3 = 150$

→ $150{,}97$ est plausible ; $15{,}097$ ne l'est pas

⚠ Attention
L'ordre de grandeur contrôle le résultat, il ne le remplace pas.
5ème → 2ndeXP MAX#Technique de calcul#Algèbre
Développer avec la distributivité
$a(b+c) = ab + ac \\ a(b-c) = ab - ac \\ -a(b+c) = -ab - ac$
Règle · Cours · Exercicesapp.jeraisonne.fr/c/PVKRPU
JeRaisonne
Technique de calcul
Développer avec la distributivité
Quand l’utiliser ?
Tu vois un facteur × (somme ou différence) → développe pour supprimer les parenthèses.

Règles
$a(b+c) = ab + ac \\ a(b-c) = ab - ac \\ -a(b+c) = -ab - ac$
Exemple
Développer $3(2x+5)$

$3(2x+5)$ : $3 \times 2x = 6x$ et $3 \times 5 = 15$

$\Rightarrow 3(2x+5) = 6x + 15$

⚠ Attention
Piège 1 : oublier un terme → $3(2x+5) \neq 6x+5$ ✗ (il faut multiplier tous les termes).

Piège 2 : signe $-$ devant → $-2(x-4) \neq -2x-8$ ✗ ( $-\times- = +$ , le signe change !).
6ème → 5èmeXP MAX#Propriété#Fractions
Fractions égales
$\frac{a}{b} = \frac{a \times k}{b \times k}$
Règle · Cours · Exercicesapp.jeraisonne.fr/c/8FQGFM
JeRaisonne
Propriété
Fractions égales
$\frac{a}{b} = \frac{a \times k}{b \times k}$
$k$
nombre non nul, le même en haut et en bas

$b \neq 0$ , $k \neq 0$

Exemple
Simplifier $\frac{12}{18}$

6 divise 12 et 18

$\frac{12 \div 6}{18 \div 6} = \frac{2}{3}$

→ $\frac{12}{18} = \frac{2}{3}$

⚠ Attention
Jamais d'addition : $\frac{1}{2} \neq \frac{1+1}{2+1} = \frac{2}{3}$ .
6ème → 5èmeXP MAX#Formule#Calcul
La division euclidienne
$a = b \times q + r \quad \text{avec } r < b$
Règle · Cours · Exercicesapp.jeraisonne.fr/c/FZ8ZNZ
JeRaisonne
Formule
La division euclidienne
$a = b \times q + r \quad \text{avec } r < b$
$a$
dividende

$b$
diviseur

$q$
quotient

$r$
reste

Cherche le plus grand multiple de $b$ qui ne dépasse pas $a$ .

Reste : $r = a - b \times q$ .

Vérifie : $r < b$ .

Exemple
47 bonbons, sachets de 6

$6 \times 7 = 42 \le 47$ et $6 \times 8 = 48 > 47$

$47 - 42 = 5$

→ $47 = 6 \times 7 + 5$ : 7 sachets, 5 bonbons restants

⚠ Attention
Reste toujours < diviseur : $47 = 6 \times 6 + 11$ n'est pas la division euclidienne.
6ème → 5èmeXP MAX#Propriété#Algèbre
Le 1, neutre de la multiplication
$1 \times x = x$
Règle · Cours · Exercicesapp.jeraisonne.fr/c/TYAJ5J
JeRaisonne
Propriété
Le 1, neutre de la multiplication
Élément neutre de la multiplication
$1 \times x = x$
$x$

n'importe quelle variable ou expression

Valable pour tout nombre ou expression littérale.

Ce que ça change
Quand une variable apparaît seule, elle a un coefficient caché : 1.

$x = 1 \times x = 1x$

Ecrire ce $1$ permet de réduire ou factoriser comme les autres termes.

Exemple
Réduire $x + 3x$

Repère que $x$ est seul → pose $x = 1x$

$1x + 3x$

Même facteur $x$ → additionne les coefficients : $(1 + 3)x$

→ $4x$

Quand l’utiliser ?
Utilise cette propriété dès qu'une variable sans coefficient apparaît dans une somme ou une factorisation : $x + 2x$ , $x - 5x$ , $x + x$ …

⚠ Attention
Erreur fréquente : oublier le $1$ caché.

❌ $x + 3x = 3x$ (on ignore le $x$ seul) ❌ $x + 3x = 4$ (on oublie la variable) ✅ $x + 3x = 1x + 3x = 4x$

Triangle	Angles
Isocèle en A	$\widehat{B} = \widehat{C}$ (base)
Équilatéral	60° chacun
Rectangle en A	$\widehat{A} = 90°$ , $\widehat{B} + \widehat{C} = 90°$

%	Revient à
50 %	÷ 2
25 %	÷ 4
10 %	÷ 10
1 %	÷ 100

$12{,}468$ arrondi	Résultat
à l'unité	$12$
au dixième	$12{,}5$
au centième	$12{,}47$

n	n²	n	n²
1	1	6	36
2	4	7	49
3	9	8	64
4	16	9	81
5	25	10	100

n	n²	n	n²
11	121	16	256
12	144	17	289
13	169	18	324
14	196	19	361
15	225	20	400

6ème → 5èmeXP MAX#Tableau de synthèse#Nombres

Les écritures d'un nombre décimal

1 chiffre après la virgule → dénominateur 10 ; 2 chiffres → 100 ; 3 → 1 000.

Règle · Cours · Exercicesapp.jeraisonne.fr/c/UNNAZK

Tableau de synthèse

Les écritures d'un nombre décimal

Un même nombre, 4 écritures

Virgule	Fraction	Mixte	%
$0{,}25$	$\frac{25}{100}$	—	$25\,\%$
$3{,}7$	$\frac{37}{10}$	$3+\frac{7}{10}$	$370\,\%$
$0{,}6$	$\frac{6}{10}$	—	$60\,\%$
$1{,}05$	$\frac{105}{100}$	$1+\frac{5}{100}$	$105\,\%$

1 chiffre après la virgule → dénominateur 10 ; 2 chiffres → 100 ; 3 → 1 000.
Pour le %, écris la fraction sur 100 : $\frac{a}{100} = a\,\%$ .

⚠ Attention

$0{,}5 = \frac{50}{100} = 50\,\%$ , et non $5\,\%$ .

6ème → 5èmeXP MAX#Propriété#Géométrie
Médiatrice d'un segment
$M \in \text{médiatrice de } [AB] \iff MA = MB$
Règle · Cours · Exercicesapp.jeraisonne.fr/c/CKXN2B
JeRaisonne
Propriété
Médiatrice d'un segment
Médiatrice de [AB] : droite perpendiculaire à [AB] passant par son milieu.

Propriété caractéristique
$M \in \text{médiatrice de } [AB] \iff MA = MB$
Construire au compas
Arc de centre A, rayon > ½ AB.

Même rayon, arc de centre B.

Trace la droite qui joint les 2 intersections.

⚠ Attention
Perpendiculaire et par le milieu : les deux conditions sont nécessaires.
6ème → 5èmeXP MAX#Formule#Grandeurs
Périmètre d'un cercle
$P = \pi \times d = 2 \times \pi \times r$
Règle · Cours · Exercicesapp.jeraisonne.fr/c/C72A2F
JeRaisonne
Formule
Périmètre d'un cercle
$P = \pi \times d = 2 \times \pi \times r$
$d$
diamètre

$r$
rayon ( $d = 2r$ )

$\pi$
≈ 3,14

Exemple
Roue de diamètre 60 cm

$P = \pi \times 60 = 60\pi$

$60 \times 3{,}14 = 188{,}4$

→ $P \approx 188{,}4$ cm

⚠ Attention
Avec le rayon, pense à le doubler : $r = 5 \Rightarrow P = 10\pi$ .
6ème → 5èmeXP MAX#Théorème#Géométrie
Somme des angles d'un triangle
$\widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} = 180°$
Règle · Cours · Exercicesapp.jeraisonne.fr/c/BR2JZ6
JeRaisonne
6ème → 5èmeXP MAX#Définition#Fractions
Une fraction est un quotient
$b \times \frac{a}{b} = a$
Règle · Cours · Exercicesapp.jeraisonne.fr/c/7BDZ4V
JeRaisonne
Définition
Une fraction est un quotient
$b \times \frac{a}{b} = a$
$a$
numérateur (dividende)

$b$
dénominateur (diviseur), $b \neq 0$

$\dfrac{a}{b} = a \div b$ : c'est la valeur exacte du quotient, qu'il soit entier, décimal ou non.

Exemple
Complète : $3 \times \ldots = 7$

Le nombre cherché est $\frac{7}{3}$

Vérif : $3 \times \frac{7}{3} = 7$

→ $\frac{7}{3}$

⚠ Attention
$\frac{7}{3} \neq 2{,}33$ : $2{,}33$ n'est qu'une valeur approchée.

4ème5 cartes

5ème → 2ndeXP MAX#Technique de calcul#Calcul numérique
Additionner des fractions
$\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{a \times d + c \times b}{b \times d}$
Règle · Cours · Exercicesapp.jeraisonne.fr/c/WBC3SP
JeRaisonne
Technique de calcul
Additionner des fractions
Règle générale
$\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{a \times d + c \times b}{b \times d}$
$a, c$

numérateurs

$b, d$

dénominateurs

Valable quand b ≠ 0 et d ≠ 0

Méthode
Les dénominateurs sont-ils égaux ? Si oui, additionne directement les numérateurs → étape 3.

Sinon, trouve le PPCM (ou un multiple commun) des dénominateurs.

Convertis chaque fraction : multiplie numérateur ET dénominateur par le même nombre.

Additionne les numérateurs, garde le dénominateur commun.

Simplifie la fraction si possible.

Exemple
$\dfrac{1}{4} + \dfrac{2}{3}$ — dénominateurs différents, PPCM = 12

$\dfrac{1}{4} = \dfrac{1 \times 3}{4 \times 3} = \dfrac{3}{12}$

$\dfrac{2}{3} = \dfrac{2 \times 4}{3 \times 4} = \dfrac{8}{12}$

$\dfrac{3}{12} + \dfrac{8}{12} = \dfrac{3 + 8}{12} = \dfrac{11}{12}$

→ $\dfrac{11}{12}$ (déjà simplifiée)

⚠ Attention
Ne jamais additionner les dénominateurs !
$\frac{1}{4}+\frac{2}{3} \neq \frac{3}{7}$
Seuls les numérateurs s'additionnent, une fois le dénominateur commun trouvé.

Pense aussi à simplifier le résultat final.
5ème → 2ndeXP MAX#Technique de calcul#Algèbre
Développer avec la distributivité
$a(b+c) = ab + ac \\ a(b-c) = ab - ac \\ -a(b+c) = -ab - ac$
Règle · Cours · Exercicesapp.jeraisonne.fr/c/PVKRPU
JeRaisonne
Technique de calcul
Développer avec la distributivité
Quand l’utiliser ?
Tu vois un facteur × (somme ou différence) → développe pour supprimer les parenthèses.

Règles
$a(b+c) = ab + ac \\ a(b-c) = ab - ac \\ -a(b+c) = -ab - ac$
Exemple
Développer $3(2x+5)$

$3(2x+5)$ : $3 \times 2x = 6x$ et $3 \times 5 = 15$

$\Rightarrow 3(2x+5) = 6x + 15$

⚠ Attention
Piège 1 : oublier un terme → $3(2x+5) \neq 6x+5$ ✗ (il faut multiplier tous les termes).

Piège 2 : signe $-$ devant → $-2(x-4) \neq -2x-8$ ✗ ( $-\times- = +$ , le signe change !).
4ème → 2ndeXP MAX#Technique de calcul#Algèbre
Distributivité avec un facteur négatif
$-a(b - c + d - e) = -ab + ac - ad + ae$
Règle · Cours · Exercicesapp.jeraisonne.fr/c/YG8E6F
JeRaisonne
Technique de calcul
Distributivité avec un facteur négatif
Quand l’utiliser ?
Le facteur devant la parenthèse est négatif (ex. : $-3(…)$ , $-(…)$ , $-2x(…)$ ).

Règle générale
$-a(b - c + d - e) = -ab + ac - ad + ae$
$a$

facteur extérieur (positif)

$b, c, d, e$

termes à l'intérieur

Multiplier par un facteur négatif inverse le signe de chaque terme.

Méthode
Repère le facteur négatif devant la parenthèse.

Multiplie-le par chaque terme un à un.

Applique la règle des signes : $(-) \times (+) = (-)$ et $(-) \times (-) = (+)$ .

Réécris tous les termes obtenus, puis réduis si possible.

Règle des signes à l'intérieur
Signe dans ( )

Facteur ext.

Signe résultat

$+$

$-a$

$-$

$-$

$-a$

$+$

Exemple
Développer $-3(2x - 5 + x - 1)$

$-3 \times 2x = -6x$

$-3 \times (-5) = +15$

$-3 \times x = -3x$

$-3 \times (-1) = +1$

On assemble : $-6x + 15 - 3x + 1$

→ $-9x + 16$

⚠ Attention
Oublier de changer le signe d'un terme — surtout ceux déjà négatifs à l'intérieur.

$-$ dans $( )$ → devient $+$ à l'extérieur $+$ dans $( )$ → devient $-$ à l'extérieur

Vérifie chaque terme, un par un, sans en sauter.
4ème → 2ndeXP MAX#Technique de calcul#Algèbre
Double distributivité (développer un produit)
$(a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd$
Règle · Cours · Exercicesapp.jeraisonne.fr/c/BRWETR
JeRaisonne
Technique de calcul
Double distributivité (développer un produit)
Règle
$(a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd$
$a, b$

termes du 1er facteur

$c, d$

termes du 2e facteur

4 produits au total, puis on réduit les termes semblables.

Méthode
Repère les deux facteurs entre parenthèses.

Multiplie le 1er terme du 1er facteur par chacun du 2e.

Multiplie le 2e terme du 1er facteur par chacun du 2e.

Écris les 4 produits en conservant les signes.

Réduis les termes semblables.

Exemple
Développer $(x+3)(x-5)$

$x \times x = x^2$

$x \times (-5) = -5x$

$3 \times x = +3x$

$3 \times (-5) = -15$

On regroupe : $x^2 - 5x + 3x - 15$

→ $x^2 - 2x - 15$

⚠ Attention
Oublier les termes croisés : $(a+b)(c+d) \ \neq\ ac + bd$ .

Signe du dernier terme : deux termes négatifs donnent un produit positif. $(x-3)(x-2) \Rightarrow (-3)\times(-2) = +6$ , pas $-6$ .
4ème → 2ndeXP MAX#Théorème#Géométrie
Théorème de Pythagore
$AB^2 = AC^2 + BC^2$
Règle · Cours · Exercicesapp.jeraisonne.fr/c/E5WMSW
JeRaisonne
Théorème
Théorème de Pythagore
Si triangle rectangle en C
$AB^2 = AC^2 + BC^2$
$AB$

hypoténuse (côté opposé à l'angle droit)

$AC, BC$

les deux autres côtés

Valable uniquement si le triangle est rectangle en C

Méthode
Repérer l'angle droit → le côté opposé est l'hypoténuse (le plus grand).

Écrire : hypoténuse² = côté₁² + côté₂²

Calculer et conclure.

Exemple
Le triangle a les côtés 4, 5 et 6. Est-il rectangle ?

Plus grand côté : 6 → tester 6² et 4² + 5²

6² = 36 et 4² + 5² = 16 + 25 = 41

36 ≠ 41

→ Ce triangle n'est pas rectangle.

⚠ Attention
Toujours mettre le plus grand côté seul à gauche. Sinon le calcul est faux.

Signe dans ( )	Facteur ext.	Signe résultat
$+$	$-a$	$-$
$-$	$-a$	$+$

3ème7 cartes

5ème → 2ndeXP MAX#Technique de calcul#Calcul numérique
Additionner des fractions
$\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{a \times d + c \times b}{b \times d}$
Règle · Cours · Exercicesapp.jeraisonne.fr/c/WBC3SP
JeRaisonne
Technique de calcul
Additionner des fractions
Règle générale
$\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{a \times d + c \times b}{b \times d}$
$a, c$

numérateurs

$b, d$

dénominateurs

Valable quand b ≠ 0 et d ≠ 0

Méthode
Les dénominateurs sont-ils égaux ? Si oui, additionne directement les numérateurs → étape 3.

Sinon, trouve le PPCM (ou un multiple commun) des dénominateurs.

Convertis chaque fraction : multiplie numérateur ET dénominateur par le même nombre.

Additionne les numérateurs, garde le dénominateur commun.

Simplifie la fraction si possible.

Exemple
$\dfrac{1}{4} + \dfrac{2}{3}$ — dénominateurs différents, PPCM = 12

$\dfrac{1}{4} = \dfrac{1 \times 3}{4 \times 3} = \dfrac{3}{12}$

$\dfrac{2}{3} = \dfrac{2 \times 4}{3 \times 4} = \dfrac{8}{12}$

$\dfrac{3}{12} + \dfrac{8}{12} = \dfrac{3 + 8}{12} = \dfrac{11}{12}$

→ $\dfrac{11}{12}$ (déjà simplifiée)

⚠ Attention
Ne jamais additionner les dénominateurs !
$\frac{1}{4}+\frac{2}{3} \neq \frac{3}{7}$
Seuls les numérateurs s'additionnent, une fois le dénominateur commun trouvé.

Pense aussi à simplifier le résultat final.
5ème → 2ndeXP MAX#Technique de calcul#Algèbre
Développer avec la distributivité
$a(b+c) = ab + ac \\ a(b-c) = ab - ac \\ -a(b+c) = -ab - ac$
Règle · Cours · Exercicesapp.jeraisonne.fr/c/PVKRPU
JeRaisonne
Technique de calcul
Développer avec la distributivité
Quand l’utiliser ?
Tu vois un facteur × (somme ou différence) → développe pour supprimer les parenthèses.

Règles
$a(b+c) = ab + ac \\ a(b-c) = ab - ac \\ -a(b+c) = -ab - ac$
Exemple
Développer $3(2x+5)$

$3(2x+5)$ : $3 \times 2x = 6x$ et $3 \times 5 = 15$

$\Rightarrow 3(2x+5) = 6x + 15$

⚠ Attention
Piège 1 : oublier un terme → $3(2x+5) \neq 6x+5$ ✗ (il faut multiplier tous les termes).

Piège 2 : signe $-$ devant → $-2(x-4) \neq -2x-8$ ✗ ( $-\times- = +$ , le signe change !).
4ème → 2ndeXP MAX#Technique de calcul#Algèbre
Distributivité avec un facteur négatif
$-a(b - c + d - e) = -ab + ac - ad + ae$
Règle · Cours · Exercicesapp.jeraisonne.fr/c/YG8E6F
JeRaisonne
Technique de calcul
Distributivité avec un facteur négatif
Quand l’utiliser ?
Le facteur devant la parenthèse est négatif (ex. : $-3(…)$ , $-(…)$ , $-2x(…)$ ).

Règle générale
$-a(b - c + d - e) = -ab + ac - ad + ae$
$a$

facteur extérieur (positif)

$b, c, d, e$

termes à l'intérieur

Multiplier par un facteur négatif inverse le signe de chaque terme.

Méthode
Repère le facteur négatif devant la parenthèse.

Multiplie-le par chaque terme un à un.

Applique la règle des signes : $(-) \times (+) = (-)$ et $(-) \times (-) = (+)$ .

Réécris tous les termes obtenus, puis réduis si possible.

Règle des signes à l'intérieur
Signe dans ( )

Facteur ext.

Signe résultat

$+$

$-a$

$-$

$-$

$-a$

$+$

Exemple
Développer $-3(2x - 5 + x - 1)$

$-3 \times 2x = -6x$

$-3 \times (-5) = +15$

$-3 \times x = -3x$

$-3 \times (-1) = +1$

On assemble : $-6x + 15 - 3x + 1$

→ $-9x + 16$

⚠ Attention
Oublier de changer le signe d'un terme — surtout ceux déjà négatifs à l'intérieur.

$-$ dans $( )$ → devient $+$ à l'extérieur $+$ dans $( )$ → devient $-$ à l'extérieur

Vérifie chaque terme, un par un, sans en sauter.
4ème → 2ndeXP MAX#Technique de calcul#Algèbre
Double distributivité (développer un produit)
$(a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd$
Règle · Cours · Exercicesapp.jeraisonne.fr/c/BRWETR
JeRaisonne
Technique de calcul
Double distributivité (développer un produit)
Règle
$(a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd$
$a, b$

termes du 1er facteur

$c, d$

termes du 2e facteur

4 produits au total, puis on réduit les termes semblables.

Méthode
Repère les deux facteurs entre parenthèses.

Multiplie le 1er terme du 1er facteur par chacun du 2e.

Multiplie le 2e terme du 1er facteur par chacun du 2e.

Écris les 4 produits en conservant les signes.

Réduis les termes semblables.

Exemple
Développer $(x+3)(x-5)$

$x \times x = x^2$

$x \times (-5) = -5x$

$3 \times x = +3x$

$3 \times (-5) = -15$

On regroupe : $x^2 - 5x + 3x - 15$

→ $x^2 - 2x - 15$

⚠ Attention
Oublier les termes croisés : $(a+b)(c+d) \ \neq\ ac + bd$ .

Signe du dernier terme : deux termes négatifs donnent un produit positif. $(x-3)(x-2) \Rightarrow (-3)\times(-2) = +6$ , pas $-6$ .

Signe dans ( )	Facteur ext.	Signe résultat
$+$	$-a$	$-$
$-$	$-a$	$+$

3èmeXP MAX#Méthode#Algèbre

Factoriser une expression algébrique

Cherche un facteur commun à tous les termes et mets-le en évidence.

Règle · Cours · Exercicesapp.jeraisonne.fr/c/RAP84V

Méthode

Factoriser une expression algébrique

Quand l’utiliser ?

Simplifier une fraction algébrique
Résoudre une équation en cherchant un produit nul
Réécrire une expression comme un produit

Identités remarquables

Forme (somme)	Factorisation (produit)
$ka + kb$	$k(a+b)$
$a^2 - b^2$	$(a-b)(a+b)$
$a^2 + 2ab + b^2$	$(a+b)^2$
$a^2 - 2ab + b^2$	$(a-b)^2$

Méthode

Cherche un facteur commun à tous les termes et mets-le en évidence.
Reconnais une identité remarquable dans ce qui reste.
Répète si possible (factorisation complète).
Vérifie en développant le résultat.

Exemple

Factorise $3x^2 - 12$

Facteur commun 3 : $3(x^2 - 4)$

Différence de carrés ( $x^2 - 2^2$ ) : $3(x-2)(x+2)$

→ $3(x-2)(x+2)$

⚠ Attention

Factoriser complètement ! $3(x^2-4)$ n'est pas fini → il faut encore factoriser $x^2-4$ .

Signe − en facteur : $-(a-b) = -a+b$ , pas $-a-b$ .

Ne pas confondre : factoriser → produit ; développer → somme.

3ème → 2ndeXP MAX#Identité remarquable#Algèbre
Identité remarquable : différence de carrés
$a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$
Règle · Cours · Exercicesapp.jeraisonne.fr/c/Z9QYPK
JeRaisonne
Identité remarquable
Identité remarquable : différence de carrés
Différence de carrés
$a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$
$a$

premier terme (sa racine carrée)

$b$

deuxième terme (sa racine carrée)

Quand l’utiliser ?
Factoriser : tu vois $A - B$ où $A$ et $B$ sont des carrés. Développer : tu vois un produit $(a-b)(a+b)$ .

Méthode — Factoriser
Repère les deux termes séparés par un « − ».

Vérifie que chaque terme est un carré : écris-les sous la forme $a^2$ et $b^2$ .

Applique : $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ .

Exemple
Factoriser $4x^2 - 25$

$4x^2 = (2x)^2$ et $25 = 5^2$

Donc $a = 2x$ , $b = 5$

$4x^2 - 25 = (2x-5)(2x+5)$

→ $(2x-5)(2x+5)$

⚠ Attention
$a^2 + b^2$ ne se factorise pas ! La formule exige une différence (signe « − »), pas une somme. Vérifie toujours que les deux termes sont bien des carrés avant d'appliquer.
4ème → 2ndeXP MAX#Théorème#Géométrie
Théorème de Pythagore
$AB^2 = AC^2 + BC^2$
Règle · Cours · Exercicesapp.jeraisonne.fr/c/E5WMSW
JeRaisonne
Théorème
Théorème de Pythagore
Si triangle rectangle en C
$AB^2 = AC^2 + BC^2$
$AB$

hypoténuse (côté opposé à l'angle droit)

$AC, BC$

les deux autres côtés

Valable uniquement si le triangle est rectangle en C

Méthode
Repérer l'angle droit → le côté opposé est l'hypoténuse (le plus grand).

Écrire : hypoténuse² = côté₁² + côté₂²

Calculer et conclure.

Exemple
Le triangle a les côtés 4, 5 et 6. Est-il rectangle ?

Plus grand côté : 6 → tester 6² et 4² + 5²

6² = 36 et 4² + 5² = 16 + 25 = 41

36 ≠ 41

→ Ce triangle n'est pas rectangle.

⚠ Attention
Toujours mettre le plus grand côté seul à gauche. Sinon le calcul est faux.

2nde6 cartes

5ème → 2ndeXP MAX#Technique de calcul#Calcul numérique
Additionner des fractions
$\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{a \times d + c \times b}{b \times d}$
Règle · Cours · Exercicesapp.jeraisonne.fr/c/WBC3SP
JeRaisonne
Technique de calcul
Additionner des fractions
Règle générale
$\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{a \times d + c \times b}{b \times d}$
$a, c$

numérateurs

$b, d$

dénominateurs

Valable quand b ≠ 0 et d ≠ 0

Méthode
Les dénominateurs sont-ils égaux ? Si oui, additionne directement les numérateurs → étape 3.

Sinon, trouve le PPCM (ou un multiple commun) des dénominateurs.

Convertis chaque fraction : multiplie numérateur ET dénominateur par le même nombre.

Additionne les numérateurs, garde le dénominateur commun.

Simplifie la fraction si possible.

Exemple
$\dfrac{1}{4} + \dfrac{2}{3}$ — dénominateurs différents, PPCM = 12

$\dfrac{1}{4} = \dfrac{1 \times 3}{4 \times 3} = \dfrac{3}{12}$

$\dfrac{2}{3} = \dfrac{2 \times 4}{3 \times 4} = \dfrac{8}{12}$

$\dfrac{3}{12} + \dfrac{8}{12} = \dfrac{3 + 8}{12} = \dfrac{11}{12}$

→ $\dfrac{11}{12}$ (déjà simplifiée)

⚠ Attention
Ne jamais additionner les dénominateurs !
$\frac{1}{4}+\frac{2}{3} \neq \frac{3}{7}$
Seuls les numérateurs s'additionnent, une fois le dénominateur commun trouvé.

Pense aussi à simplifier le résultat final.
5ème → 2ndeXP MAX#Technique de calcul#Algèbre
Développer avec la distributivité
$a(b+c) = ab + ac \\ a(b-c) = ab - ac \\ -a(b+c) = -ab - ac$
Règle · Cours · Exercicesapp.jeraisonne.fr/c/PVKRPU
JeRaisonne
Technique de calcul
Développer avec la distributivité
Quand l’utiliser ?
Tu vois un facteur × (somme ou différence) → développe pour supprimer les parenthèses.

Règles
$a(b+c) = ab + ac \\ a(b-c) = ab - ac \\ -a(b+c) = -ab - ac$
Exemple
Développer $3(2x+5)$

$3(2x+5)$ : $3 \times 2x = 6x$ et $3 \times 5 = 15$

$\Rightarrow 3(2x+5) = 6x + 15$

⚠ Attention
Piège 1 : oublier un terme → $3(2x+5) \neq 6x+5$ ✗ (il faut multiplier tous les termes).

Piège 2 : signe $-$ devant → $-2(x-4) \neq -2x-8$ ✗ ( $-\times- = +$ , le signe change !).
4ème → 2ndeXP MAX#Technique de calcul#Algèbre
Distributivité avec un facteur négatif
$-a(b - c + d - e) = -ab + ac - ad + ae$
Règle · Cours · Exercicesapp.jeraisonne.fr/c/YG8E6F
JeRaisonne
Technique de calcul
Distributivité avec un facteur négatif
Quand l’utiliser ?
Le facteur devant la parenthèse est négatif (ex. : $-3(…)$ , $-(…)$ , $-2x(…)$ ).

Règle générale
$-a(b - c + d - e) = -ab + ac - ad + ae$
$a$

facteur extérieur (positif)

$b, c, d, e$

termes à l'intérieur

Multiplier par un facteur négatif inverse le signe de chaque terme.

Méthode
Repère le facteur négatif devant la parenthèse.

Multiplie-le par chaque terme un à un.

Applique la règle des signes : $(-) \times (+) = (-)$ et $(-) \times (-) = (+)$ .

Réécris tous les termes obtenus, puis réduis si possible.

Règle des signes à l'intérieur
Signe dans ( )

Facteur ext.

Signe résultat

$+$

$-a$

$-$

$-$

$-a$

$+$

Exemple
Développer $-3(2x - 5 + x - 1)$

$-3 \times 2x = -6x$

$-3 \times (-5) = +15$

$-3 \times x = -3x$

$-3 \times (-1) = +1$

On assemble : $-6x + 15 - 3x + 1$

→ $-9x + 16$

⚠ Attention
Oublier de changer le signe d'un terme — surtout ceux déjà négatifs à l'intérieur.

$-$ dans $( )$ → devient $+$ à l'extérieur $+$ dans $( )$ → devient $-$ à l'extérieur

Vérifie chaque terme, un par un, sans en sauter.
4ème → 2ndeXP MAX#Technique de calcul#Algèbre
Double distributivité (développer un produit)
$(a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd$
Règle · Cours · Exercicesapp.jeraisonne.fr/c/BRWETR
JeRaisonne
Technique de calcul
Double distributivité (développer un produit)
Règle
$(a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd$
$a, b$

termes du 1er facteur

$c, d$

termes du 2e facteur

4 produits au total, puis on réduit les termes semblables.

Méthode
Repère les deux facteurs entre parenthèses.

Multiplie le 1er terme du 1er facteur par chacun du 2e.

Multiplie le 2e terme du 1er facteur par chacun du 2e.

Écris les 4 produits en conservant les signes.

Réduis les termes semblables.

Exemple
Développer $(x+3)(x-5)$

$x \times x = x^2$

$x \times (-5) = -5x$

$3 \times x = +3x$

$3 \times (-5) = -15$

On regroupe : $x^2 - 5x + 3x - 15$

→ $x^2 - 2x - 15$

⚠ Attention
Oublier les termes croisés : $(a+b)(c+d) \ \neq\ ac + bd$ .

Signe du dernier terme : deux termes négatifs donnent un produit positif. $(x-3)(x-2) \Rightarrow (-3)\times(-2) = +6$ , pas $-6$ .
3ème → 2ndeXP MAX#Identité remarquable#Algèbre
Identité remarquable : différence de carrés
$a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$
Règle · Cours · Exercicesapp.jeraisonne.fr/c/Z9QYPK
JeRaisonne
Identité remarquable
Identité remarquable : différence de carrés
Différence de carrés
$a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$
$a$

premier terme (sa racine carrée)

$b$

deuxième terme (sa racine carrée)

Quand l’utiliser ?
Factoriser : tu vois $A - B$ où $A$ et $B$ sont des carrés. Développer : tu vois un produit $(a-b)(a+b)$ .

Méthode — Factoriser
Repère les deux termes séparés par un « − ».

Vérifie que chaque terme est un carré : écris-les sous la forme $a^2$ et $b^2$ .

Applique : $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ .

Exemple
Factoriser $4x^2 - 25$

$4x^2 = (2x)^2$ et $25 = 5^2$

Donc $a = 2x$ , $b = 5$

$4x^2 - 25 = (2x-5)(2x+5)$

→ $(2x-5)(2x+5)$

⚠ Attention
$a^2 + b^2$ ne se factorise pas ! La formule exige une différence (signe « − »), pas une somme. Vérifie toujours que les deux termes sont bien des carrés avant d'appliquer.
4ème → 2ndeXP MAX#Théorème#Géométrie
Théorème de Pythagore
$AB^2 = AC^2 + BC^2$
Règle · Cours · Exercicesapp.jeraisonne.fr/c/E5WMSW
JeRaisonne
Théorème
Théorème de Pythagore
Si triangle rectangle en C
$AB^2 = AC^2 + BC^2$
$AB$

hypoténuse (côté opposé à l'angle droit)

$AC, BC$

les deux autres côtés

Valable uniquement si le triangle est rectangle en C

Méthode
Repérer l'angle droit → le côté opposé est l'hypoténuse (le plus grand).

Écrire : hypoténuse² = côté₁² + côté₂²

Calculer et conclure.

Exemple
Le triangle a les côtés 4, 5 et 6. Est-il rectangle ?

Plus grand côté : 6 → tester 6² et 4² + 5²

6² = 36 et 4² + 5² = 16 + 25 = 41

36 ≠ 41

→ Ce triangle n'est pas rectangle.

⚠ Attention
Toujours mettre le plus grand côté seul à gauche. Sinon le calcul est faux.

Signe dans ( )	Facteur ext.	Signe résultat
$+$	$-a$	$-$
$-$	$-a$	$+$

1ère1 carte

1èreXP MAX#Méthode#Algèbre
Résoudre une équation du 2nd degré
Réécrire l'équation sous la forme $ax^2+bx+c=0$ (tout à gauche, $=0$ à droite).

Règle · Cours · Exercicesapp.jeraisonne.fr/c/CWB8JQ
JeRaisonne
Méthode
Résoudre une équation du 2nd degré
Quand l’utiliser ?
L'équation contient un $x^2$ et peut se ramener à $ax^2+bx+c=0$ avec $a\neq 0$ .

Méthode
Réécrire l'équation sous la forme $ax^2+bx+c=0$ (tout à gauche, $=0$ à droite).

Identifier $a$ , $b$ , $c$ puis calculer $\Delta=b^2-4ac$ .

Si $\Delta<0$ : aucune solution réelle.

Si $\Delta=0$ : une solution $x_0=-\dfrac{b}{2a}$ .

Si $\Delta>0$ : deux solutions $x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$ .

Bilan selon $\Delta$
$\Delta$

Solutions réelles

$\Delta < 0$

Aucune

$\Delta = 0$

$x_0 = -\dfrac{b}{2a}$

$\Delta > 0$

$x_1$ et $x_2$

Exemple
Résoudre $2x^2-5x+3=0$

$a=2,\ b=-5,\ c=3$

$\Delta=(-5)^2-4\times2\times3=25-24=1>0$

$x_1=\dfrac{5-1}{4}=1$ , $x_2=\dfrac{5+1}{4}=\dfrac{3}{2}$

→ $S=\left\{1\ ;\ \dfrac{3}{2}\right\}$

⚠ Attention
Mettre = 0 en premier avant de lire $a$ , $b$ , $c$ . — Si $b<0$ , alors $b^2>0$ (ne pas oublier le carré). — La racine double $x_0=-\frac{b}{2a}$ n'est pas l'une des deux racines distinctes.

$\Delta$	Solutions réelles
$\Delta < 0$	Aucune
$\Delta = 0$	$x_0 = -\dfrac{b}{2a}$
$\Delta > 0$	$x_1$ et $x_2$

Terminale1 carte

TerminaleXP MAX#Schéma de raisonnement#Logique & démonstration
Raisonnement par récurrence
$\bigl[P(n_0)\text{ vraie}\bigr] \;\text{et}\; \bigl[\forall n\geq n_0,\; P(n)\Rightarrow P(n+1)\bigr] \;\Longrightarrow\; \forall n\geq n_0,\; P(n)\text{ vraie}$
Règle · Cours · Exercicesapp.jeraisonne.fr/c/CJEEHZ
JeRaisonne
Schéma de raisonnement
Raisonnement par récurrence
Quand l’utiliser ?
Utiliser quand on veut démontrer qu'une propriété est vraie pour tout entier $n \geq n_0$ (formule, inégalité, divisibilité…).

Définir la propriété
Poser explicitement : Soit $P(n)$ la propriété : « … » (remplacer par l'énoncé précis à démontrer, exprimé en fonction de $n$ ).

Principe de récurrence
$\bigl[P(n_0)\text{ vraie}\bigr] \;\text{et}\; \bigl[\forall n\geq n_0,\; P(n)\Rightarrow P(n+1)\bigr] \;\Longrightarrow\; \forall n\geq n_0,\; P(n)\text{ vraie}$
$P(n)$
propriété dépendant de l'entier $n$

$n_0$
rang de départ (souvent 0 ou 1)

Méthode en 3 étapes
Initialisation : vérifier que $P(n_0)$ est vraie (calcul explicite).

Hérédité : écrire « Supposons $P(n)$ vraie pour un entier $n \geq n_0$ fixé quelconque (HR) », puis démontrer $P(n+1)$ .

Conclusion : « Par le principe de récurrence, $P(n)$ est vraie pour tout entier $n \geq n_0$ . »

Exemple
Montrons $P(n)$ : « $\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k = \dfrac{n(n+1)}{2}$ » pour tout $n \geq 1$ .

Init. ( $n_0=1$ ) : $\sum_{k=1}^{1}k = 1 = \frac{1\times 2}{2}$ ✓

Hér. : Supposons $\sum_{k=1}^{n}k = \frac{n(n+1)}{2}$ (HR). Alors $\sum_{k=1}^{n+1}k = \frac{n(n+1)}{2}+(n+1) = \frac{(n+1)(n+2)}{2}$ ✓

Ccl. : Par récurrence, la propriété est vraie pour tout $n\geq 1$ .

⚠ Attention
• Initialisation absente → démonstration invalide. • HR non écrite avant d'être utilisée → faute rédactionnelle. • Conclusion oubliée → points perdus en copie. • Erreur de logique : on suppose $P(n)$ pour démontrer…

Les SKILLCARDS, les compétences à collectionner et maîtriser.

6ème40 cartes

« a chances sur b » : la probabilité

Additionner des fractions de même dénominateur

Additionner et soustraire des décimaux

Aire du carré et du rectangle

Angles des triangles particuliers

Appliquer un pourcentage

Arrondir un nombre décimal

Calculer avec les durées

Carrés des entiers de 1 à 20

Cercle : centre, rayon, diamètre, corde

Comparer des fractions

Comparer deux nombres décimaux

Compléter une égalité à trou a × … = b

Construire le symétrique d'un point

Contrôler avec un ordre de grandeur

Convertir des longueurs

Diviser un décimal par un entier

Fractions égales

La division euclidienne

Le 1, neutre de la multiplication

Le schéma en barres

Les écritures d'un nombre décimal

Linéarité et retour à l'unité

Lire un tableau ou un diagramme

Médiatrice d'un segment

Mesurer un angle au rapporteur

Multiplier deux nombres décimaux

Multiplier ou diviser par 10, 100, 1 000

Nommer un angle selon sa mesure

Périmètre d'un cercle

Périmètre du carré et du rectangle

Prendre une fraction d'une quantité

Reconnaître les solides

Reconnaître une situation de proportionnalité

Répéter une suite d'instructions

Somme des angles d'un triangle

Table de multiplication de 9

Table de multiplication par 8

Une fraction est un quotient

Valeur d'un chiffre selon son rang

5ème16 cartes

Additionner des fractions

Angles des triangles particuliers

Appliquer un pourcentage

Arrondir un nombre décimal

Carrés des entiers de 1 à 20

Comparer des fractions

Contrôler avec un ordre de grandeur

Développer avec la distributivité

Fractions égales

La division euclidienne

Le 1, neutre de la multiplication

Les écritures d'un nombre décimal

Médiatrice d'un segment

Périmètre d'un cercle

Somme des angles d'un triangle

Une fraction est un quotient

4ème5 cartes

Additionner des fractions

Développer avec la distributivité

Distributivité avec un facteur négatif

Double distributivité (développer un produit)

Théorème de Pythagore

3ème7 cartes

Additionner des fractions

Développer avec la distributivité

Distributivité avec un facteur négatif

Double distributivité (développer un produit)

Factoriser une expression algébrique

Identité remarquable : différence de carrés

Théorème de Pythagore

2nde6 cartes

Additionner des fractions

Développer avec la distributivité

Distributivité avec un facteur négatif

Double distributivité (développer un produit)