Somme et produit des racines — 1ère

Pour trouver une deuxième racine connaissant la première, factoriser vite, ou construire un trinôme de racines données.

Si $ax^2 + bx + c$ a deux racines $x_1, x_2$ : $x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}$ et $x_1 x_2 = \dfrac{c}{a}$. Le trinôme s'écrit $a(x - x_1)(x - x_2)$. Les trinômes s'annulant en $x_1$ et $x_2$ sont les $a(x - x_1)(x - x_2)$, $a \neq 0$.

1. Cherche une racine évidente (0, 1, −1, 2…) : si $a + b + c = 0$, alors 1 est racine.
2. Déduis l'autre par le produit : $x_2 = \dfrac{c}{a x_1}$.
3. Factorise : $a(x - x_1)(x - x_2)$.

$2x^2 - 5x + 3$ : $2 - 5 + 3 = 0$, donc 1 est racine ; produit $= \dfrac{3}{2}$, donc $x_2 = \dfrac{3}{2}$. $2x^2 - 5x + 3 = 2(x - 1)(x - \frac32)$.

Somme $= -\dfrac{b}{a}$ (avec le signe moins) ; ne pas oublier le coefficient $a$ dans la factorisation.