Forme canonique (complétion du carré) — 1ère

Pour trouver le sommet d'une parabole (extremum) ou résoudre en se ramenant à un carré.

Tout trinôme s'écrit $a(x - \alpha)^2 + \beta$ (forme canonique) ; $S(\alpha ; \beta)$ est le sommet de la parabole, $\alpha = -\dfrac{b}{2a}$. Complétion du carré : $x^2 + 2kx = (x + k)^2 - k^2$.

1. (Si $a \neq 1$, factorise par $a$.)
2. Repère $x^2 + 2kx$ et écris $(x + k)^2 - k^2$.
3. Regroupe les constantes.
4. Lis le sommet $(\alpha ; \beta)$.

$x^2 + 6x + 5 = (x + 3)^2 - 9 + 5 = (x + 3)^2 - 4$ : sommet $(-3 ; -4)$, minimum −4.

$(x + 3)^2$ correspond à $\alpha = -3$ (signe opposé) ; ne pas oublier de retirer $k^2$.