Nombre dérivé et tangente — 1ère à Terminale

Pour connaître la pente de la courbe en un point, une vitesse instantanée, un coût marginal.

$f$ est dérivable en $a$ si $\dfrac{f(a + h) - f(a)}{h}$ tend vers un réel quand $h$ tend vers 0 ; ce réel est le nombre dérivé $f'(a)$. C'est le coefficient directeur de la tangente à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $a$.

1. Par le calcul : simplifie $\tau(h)$ puis fais $h \to 0$.
2. Graphiquement : lis la pente de la tangente (monte ÷ avance).
3. Tangente horizontale ⇔ $f'(a) = 0$.

$f(x) = x^2$ : $\tau(h) = 2a + h \to 2a$, donc $f'(3) = 6$. $|x|$ n'est pas dérivable en 0 (pentes −1 et 1).

$f'(a)$ est une pente (un nombre), pas une image ; une tangente horizontale signifie $f'(a) = 0$, pas $f(a) = 0$.