Dérivée d'un inverse, d'un quotient — 1ère à Terminale

Pour dériver une fraction rationnelle : $\dfrac{1}{x^2 + 1}$, $\dfrac{2x - 1}{x + 3}$…

Là où $v$ ne s'annule pas : $\left(\dfrac{1}{v}\right)' = -\dfrac{v'}{v^2}$ et $\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}$.

1. Identifie $u$, $v$ (et vérifie $v \neq 0$).
2. Calcule $u'$, $v'$.
3. Numérateur $u'v - uv'$ (dans cet ordre), dénominateur $v^2$ non développé.
4. Simplifie le numérateur pour étudier son signe.

$f(x) = \dfrac{2x - 1}{x + 3}$ : $f'(x) = \dfrac{2(x + 3) - (2x - 1)}{(x + 3)^2} = \dfrac{7}{(x + 3)^2}$.

L'ordre compte : $u'v - uv'$ (et non $uv' - u'v$) ; garder $v^2$ factorisé (son signe est évident).