Linéarité, Chasles, positivité, valeur moyenne — Terminale

Pour découper, combiner ou encadrer des intégrales, et calculer une moyenne continue.

Linéarité : $\int(\alpha f + \beta g) = \alpha\int f + \beta\int g$. Chasles : $\int_a^b f + \int_b^c f = \int_a^c f$. Positivité ($a \leq b$) : $f \geq 0 \Rightarrow \int_a^b f \geq 0$ ; $f \leq g \Rightarrow \int_a^b f \leq \int_a^b g$. Valeur moyenne : $\mu = \frac{1}{b - a}\int_a^b f$. Aussi $\int_b^a f = -\int_a^b f$.

1. Linéarité pour séparer les termes.
2. Chasles pour découper (fonction définie par morceaux, valeur absolue).
3. Encadrer $f$ pour encadrer l'intégrale.

Valeur moyenne de $x^2$ sur $[0 ; 3]$ : $\frac13 \int_0^3 x^2 = \frac13 \times 9 = 3$.

La positivité exige $a \leq b$ ; $\int(fg) \neq \int f \times \int g$.