Équations différentielles y′ = ay + b — Terminale

Pour modéliser une évolution dont la vitesse dépend de la valeur (refroidissement, charge d'un condensateur, croissance).

Solutions de $y' = ay$ : $y(x) = Ce^{ax}$. Solutions de $y' = ay + b$ ($a \neq 0$) : $y(x) = Ce^{ax} - \frac ba$ (solution constante $-\frac ba$ + solutions de $y' = ay$). Une condition initiale $y(x_0) = y_0$ fixe $C$.

1. Mets l'équation sous la forme $y' = ay + b$.
2. Solution constante : $y_p = -\frac ba$.
3. Solution générale : $Ce^{ax} + y_p$.
4. Condition initiale ⇒ $C$.

$y' = -0{,}1y + 2$, $y(0) = 50$ : $y_p = 20$, $y = Ce^{-0{,}1x} + 20$, $C = 30$ : $y(x) = 30e^{-0{,}1x} + 20$.

$-\frac ba$ et non $\frac ba$ ; mets bien l'équation sous la forme $y' = ay + b$ (ex. $2y' + y = 4$ ⇒ $y' = -\frac12 y + 2$).