Intégration par parties — Terminale

Pour intégrer un produit dont on ne reconnaît pas de primitive : $xe^x$, $x\ln x$, $\ln x$, $x\cos x$.

Pour $u$, $v$ dérivables à dérivées continues sur $[a ; b]$ : $\int_a^b u(x)v'(x)\,dx = [u(x)v(x)]_a^b - \int_a^b u'(x)v(x)\,dx$.

1. Choisis $u$ à dériver (qui se simplifie : polynôme, $\ln$) et $v'$ à intégrer (exp, cos, sin, puissance).
2. Calcule $u'$ et $v$.
3. Applique la formule ; l'intégrale restante doit être plus simple.

$\int_0^1 xe^x\,dx$ : $u = x$, $v' = e^x$ ⇒ $[xe^x]_0^1 - \int_0^1 e^x = e - (e - 1) = 1$.

Pour $\ln x$ : prendre $u = \ln x$ et $v' = 1$. Un mauvais choix rend l'intégrale plus compliquée.