Formule d'Euler : e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta — Terminale

Dès qu'un complexe est écrit sous forme exponentielle $re^{i\theta}$, ou pour linéariser $\cos^n\theta$, $\sin^n\theta$, ou calculer une somme trigonométrique.

$|e^{i\theta}| = 1$ (module 1, argument $\theta$). Produit : $e^{i\alpha}\cdot e^{i\beta} = e^{i(\alpha+\beta)}$, ce qui redonne les formules d'addition de $\cos$ et $\sin$. Conjugué : $\overline{e^{i\theta}} = e^{-i\theta}$.

Pour tout $\theta \in \mathbb{R}$ : $e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$. On en déduit : $\cos\theta = \dfrac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}$ et $\sin\theta = \dfrac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}$.

Linéariser $\cos^2\theta$ : $\cos^2\theta = \left(\dfrac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}\right)^2 = \dfrac{e^{2i\theta}+2+e^{-2i\theta}}{4} = \dfrac{1+\cos 2\theta}{2}$.

Ne pas confondre $e^{i\theta}$ et $e^\theta$ (réel). Attention au signe : $e^{-i\theta} = \cos\theta - i\sin\theta$. La formule ne vaut que pour un argument réel $\theta$.