Exponentielle : signe, variations, e^(ax) — 1ère à Terminale

Pour étudier une fonction contenant $e^x$ ou $e^{ax}$ : signe, variations, résolution d'inéquations.

Pour tout réel $x$, $e^x > 0$. L'exponentielle est strictement croissante sur ℝ : $e^a < e^b \iff a < b$. Pour $a$ réel, $(e^{ax})' = a\,e^{ax}$ : $t \mapsto e^{kt}$ croît et $t \mapsto e^{-kt}$ décroît ($k > 0$).

1. Le signe d'un produit $u(x)e^{x}$ est celui de $u(x)$ (car $e^x > 0$).
2. Pour dériver $e^{ax}$ : multiplie par $a$.
3. Pour une inéquation $e^{A} < e^{B}$ : compare $A$ et $B$.

$f(x) = (x - 2)e^x$ : $f'(x) = e^x + (x - 2)e^x = (x - 1)e^x$, du signe de $x - 1$ : minimum en 1. $(e^{-3t})' = -3e^{-3t}$.

$(e^{ax})' = a\,e^{ax}$, pas $e^{ax}$ ; et $e^x$ ne s'annule jamais.