Équation du 2nd degré dans ℂ — Terminale

Pour résoudre une équation du second degré même quand $\Delta < 0$, et factoriser un polynôme.

$az^2 + bz + c = 0$ ($a, b, c$ réels, $a \neq 0$), $\Delta = b^2 - 4ac$. Si $\Delta > 0$ : deux racines réelles ; $\Delta = 0$ : une racine double $-\frac{b}{2a}$ ; $\Delta < 0$ : deux racines complexes conjuguées $z = \frac{-b \pm i\sqrt{-\Delta}}{2a}$. Si $P(\alpha) = 0$, alors $P(z) = (z - \alpha)Q(z)$.

1. Calcule $\Delta$.
2. Si $\Delta < 0$ : $\sqrt{-\Delta}$, racines $\frac{-b \pm i\sqrt{-\Delta}}{2a}$.
3. Vérifie : les racines sont conjuguées, somme $-\frac ba$, produit $\frac ca$.

$z^2 - 2z + 5 = 0$ : $\Delta = -16$, $z = \frac{2 \pm 4i}{2} = 1 \pm 2i$.

$\sqrt{-\Delta}$ et non $\sqrt{\Delta}$ ; les deux racines sont conjuguées (coefficients réels).