Conjugué et module — Terminale

Pour simplifier un quotient, tester si un complexe est réel ou imaginaire pur, calculer une distance.

Conjugué de $z = a + ib$ : $\bar z = a - ib$. $\overline{z + z'} = \bar z + \bar z'$, $\overline{zz'} = \bar z\,\bar z'$. $z$ réel ⇔ $\bar z = z$ ; imaginaire pur ⇔ $\bar z = -z$. Module : $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$, $z\bar z = |z|^2$, $|zz'| = |z||z'|$, $\left|\frac{z}{z'}\right| = \frac{|z|}{|z'|}$.

1. Conjugué : change le signe de la partie imaginaire.
2. Module : $\sqrt{a^2 + b^2}$.
3. Module d'un produit/quotient : produit/quotient des modules (inutile de développer).

$z = 3 - 4i$ : $\bar z = 3 + 4i$, $|z| = 5$, $z\bar z = 25$. $\left|\frac{3 - 4i}{1 + i}\right| = \frac{5}{\sqrt2}$.

$|a + ib| = \sqrt{a^2 + b^2}$, pas $a + b$ ; $|z + z'| \neq |z| + |z'|$ en général.