Équation cartésienne et vecteur directeur — 2nde à 1ère

Pour décrire toutes les droites (verticales comprises), passer d'un vecteur directeur à une équation et inversement.

Toute droite a une équation $ax + by + c = 0$ avec $(a ; b) \neq (0 ; 0)$ ; $\vec{u}(-b ; a)$ est un vecteur directeur. M(x ; y) ∈ (d) passant par A de vecteur directeur $\vec{u}$ ⇔ $\det(\overrightarrow{AM}, \vec{u}) = 0$.

1. Avec A et $\vec{u}(\alpha ; \beta)$ : écris $\det(\overrightarrow{AM}, \vec{u}) = (x - x_A)\beta - (y - y_A)\alpha = 0$.
2. Développe pour obtenir $ax + by + c = 0$.
3. Lecture : de $ax + by + c = 0$, un vecteur directeur est $(-b ; a)$ ; si $b \neq 0$, pente $= -\dfrac{a}{b}$.

A(1 ; 2), $\vec{u}(3 ; 1)$ : $(x - 1) \times 1 - (y - 2) \times 3 = 0 \iff x - 3y + 5 = 0$.

Une droite a une infinité d'équations cartésiennes (proportionnelles) : $2x - 6y + 10 = 0$ est la même droite.