Continuité et théorème des valeurs intermédiaires — Terminale

Pour prouver qu'une équation $f(x) = k$ a une (unique) solution qu'on ne sait pas calculer, puis l'encadrer.

TVI : si $f$ est continue sur $[a ; b]$, tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$ a au moins un antécédent dans $[a ; b]$. Corollaire : si de plus $f$ est strictement monotone, cet antécédent est unique. Une fonction dérivable est continue.

1. Vérifie la continuité (dérivable ⇒ continue) et la stricte monotonie sur l'intervalle.
2. Vérifie que $k$ est entre $f(a)$ et $f(b)$ (ou entre les limites).
3. Conclus : unique solution $\alpha$.
4. Encadre $\alpha$ par balayage / dichotomie.

$f(x) = x^3 + x - 1$ continue, strictement croissante ; $f(0) = -1 < 0$, $f(1) = 1 > 0$ : unique $\alpha \in ]0 ; 1[$ avec $f(\alpha) = 0$ ; $\alpha \approx 0{,}68$.

Sans stricte monotonie, le TVI donne l'existence mais pas l'unicité ; sans continuité, rien.