Racines n-ièmes de l'unité — MPSI à PTSI

Pour résoudre $z^n = a$ ou exploiter les sommes de racines de l'unité.

$z^n = 1 \iff z = e^{2ik\pi/n},\ k \in \{0, \dots, n-1\}$ — Pour $n \geq 2$ : $\sum_{k=0}^{n-1} e^{2ik\pi/n} = 0$.

1. Écrire $a = \rho e^{i\alpha}$.
2. Une racine : $z_0 = \rho^{1/n} e^{i\alpha/n}$.
3. Toutes : $z_k = z_0\,e^{2ik\pi/n}$.

$z^3 = 8i$ : $8i = 8 e^{i\pi/2}$, $z_0 = 2 e^{i\pi/6}$ ⇒ $z_k = 2 e^{i(\pi/6 + 2k\pi/3)}$, $k = 0,1,2$

Il y a exactement $n$ racines distinctes : ne pas en oublier, ni en compter deux fois.