Opérations sur les développements limités — MPSI à PTSI

Pour combiner des DL (somme, produit, composée, quotient).

Somme/produit : tronquer au plus petit ordre utile. Composée $f(g(x))$ : il faut $g(x) \to 0$. Quotient : écrire $\frac{1}{1-u} = 1 + u + u^2 + o(u^2)$.

1. Fixer l'ordre visé.
2. Développer chaque facteur à l'ordre suffisant.
3. Ne garder que les termes de degré $\leq$ l'ordre.

$\tan x$ à l'ordre 3 : $\frac{\sin x}{\cos x} = (x - \frac{x^3}{6})(1 + \frac{x^2}{2}) + o(x^3)$ ⇒ $\tan x = x + \frac{x^3}{3} + o(x^3)$

Un produit peut faire perdre de la précision si un facteur commence par $x^k$ : prévoir l'ordre.