Intégration par parties — MPSI à PTSI

Pour intégrer un produit dont un facteur se simplifie en le dérivant ($x^n e^x$, $x \ln x$…).

$\int_a^b u'v = \big[uv\big]_a^b - \int_a^b uv'$ — $u$, $v$ de classe $\mathcal{C}^1$ sur $[a,b]$.

1. Choisir $v$ à dériver (polynôme, $\ln$) et $u'$ à primitiver.
2. Appliquer la formule, calculer le crochet.
3. Recommencer si besoin.

$\int_0^1 x e^x\,dx$ : $v = x$, $u' = e^x$ ⇒ $= [xe^x]_0^1 - \int_0^1 e^x = 1$

Vérifier la classe $\mathcal{C}^1$ ; pour $\ln$, prendre $u' = 1$.