Changement de variable — MPSI à PTSI

Pour simplifier une intégrale par une substitution $x = \varphi(t)$.

$\int_{\varphi(\alpha)}^{\varphi(\beta)} f(x)\,dx = \int_\alpha^\beta f(\varphi(t))\,\varphi'(t)\,dt$ — $\varphi$ de classe $\mathcal{C}^1$, $f$ continue.

1. Poser $x = \varphi(t)$ et $dx = \varphi'(t)\,dt$.
2. Changer les bornes.
3. Calculer la nouvelle intégrale.

$\int_0^1 \sqrt{1 - x^2}\,dx$, $x = \sin t$ : $dx = \cos t\,dt$, $t \in [0, \pi/2]$ ⇒ $= \int_0^{\pi/2} \cos^2 t\,dt = \frac{\pi}{4}$

Ne pas oublier $\varphi'(t)$ ni le changement des bornes.