Formule des probabilités totales — 1ère à Terminale

Pour calculer la probabilité d'un événement B qui peut se produire de plusieurs façons (selon A ou non A, selon plusieurs machines…).

Si $A_1, \dots, A_n$ forment une partition de l'univers (incompatibles deux à deux, de réunion Ω), alors $P(B) = P(A_1 \cap B) + \dots + P(A_n \cap B) = \sum P(A_i) P_{A_i}(B)$. Cas usuel : $P(B) = P(A)P_A(B) + P(\bar{A})P_{\bar{A}}(B)$.

1. Dessine l'arbre pondéré.
2. Repère tous les chemins menant à B.
3. Multiplie le long de chaque chemin, puis additionne.
4. Pour « sachant B » : $P_B(A) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}$.

Machine 1 : 60 % de la production, 2 % de défauts ; machine 2 : 40 %, 5 % de défauts. $P(D) = 0{,}6 \times 0{,}02 + 0{,}4 \times 0{,}05 = 0{,}032$.

Les événements $A_i$ doivent former une partition ; oublier un chemin fausse le résultat.