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SKILLCARD · Formule

Espérance, variance, écart type — 1ère à Terminale

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    Espérance, variance, écart type

    E(X)=∑xi piV(X)=E(X2)−E(X)2E(X) = \sum x_i\,p_i \qquad V(X) = E(X^2) - E(X)^2
    Règle · Cours · Exercicesapp.jeraisonne.fr/c/BVQKVN
    JeRaisonne

Quand l’utiliser ?

Pour connaître le gain moyen d'un jeu (équitable ?), et la dispersion des résultats.

La règle

E(X)=∑xiP(X=xi)E(X) = \sum x_i P(X = x_i). V(X)=∑P(X=xi)(xi−E(X))2=E(X2)−E(X)2V(X) = \sum P(X = x_i)(x_i - E(X))^2 = E(X^2) - E(X)^2 (König-Huygens) ; σ(X)=V(X)\sigma(X) = \sqrt{V(X)}. Linéarité : E(aX+b)=aE(X)+bE(aX + b) = aE(X) + b ; V(aX+b)=a2V(X)V(aX + b) = a^2V(X).

La méthode

  1. Tableau de la loi.
  2. E(X)E(X) : somme des produits valeur × probabilité.
  3. V(X)V(X) : E(X2)−E(X)2E(X^2) - E(X)^2.
  4. Jeu équitable ⇔ E(gain)=0E(\text{gain}) = 0.

Exemple

X∈{−1;5}X \in \{-1 ; 5\} avec probabilités 56\frac56 et 16\frac16 : E(X)=−56+56=0E(X) = -\frac56 + \frac56 = 0 : jeu équitable.

Les pièges à éviter

V(aX+b)=a2V(X)V(aX + b) = a^2 V(X) : la constante bb disparaît et aa est au carré.

La méthode HORA dans chaque Skill Card.

Chaque Skill Card te guide avec la méthode HORA pour réussir les exercices, faire progresser et entretenir ton niveau de maîtrise.

  1. Hypothèse

    Je comprends l’énoncé, j’identifie ce qu’on cherche et les informations données.

  2. Outil

    Je choisis l’outil mathématique adapté (définition, propriété, théorème, formule…).

  3. Raisonnement

    Je justifie pourquoi cet outil est pertinent et je construis ma démarche.

  4. Application

    J’applique la méthode au problème et je conclus en vérifiant le résultat.

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