Écrire et prouver avec 2n et 2n + 1 — 3ème à 2nde

Pour démontrer une propriété vraie pour TOUS les entiers (somme de deux impairs, carré d'un impair…).

Un entier pair s'écrit $2n$, un entier impair $2n + 1$ ($n$ entier). Deux entiers consécutifs : $n$ et $n + 1$. Un multiple de $k$ : $k \times$ entier.

1. Traduis l'hypothèse avec des lettres ($2n + 1$, $2p + 1$… lettres différentes si les nombres sont indépendants).
2. Calcule et réduis.
3. Fais apparaître la forme voulue : $2 \times (\dots)$ pour pair, $2 \times (\dots) + 1$ pour impair.

$(2n+1) + (2p+1) = 2n + 2p + 2 = 2(n + p + 1)$ : la somme de deux impairs est paire.

Des exemples ne prouvent rien pour tous les entiers ; et deux impairs quelconques s'écrivent avec deux lettres différentes.