Convexité et dérivée seconde — Terminale

Pour décrire la « courbure » d'une courbe et comparer une fonction à ses tangentes (inégalités du type $e^x \geq 1 + x$).

$f$ convexe sur $I$ : courbe au-dessus de ses tangentes (et en dessous de ses cordes) ⇔ $f'$ croissante ⇔ $f'' \geq 0$. Concave : au-dessous des tangentes ⇔ $f'$ décroissante ⇔ $f'' \leq 0$.

1. Calcule $f'$ puis $f''$.
2. Étudie le signe de $f''$.
3. $f'' \geq 0$ : convexe ; $f'' \leq 0$ : concave.
4. Convexe ⇒ $f(x) \geq$ équation de toute tangente.

$\exp'' = \exp > 0$ : exp convexe, donc au-dessus de sa tangente en 0 : $e^x \geq 1 + x$.

Convexe ne veut pas dire croissante : $x^2$ est convexe et décroissante sur $]-\infty ; 0]$.