Projeté orthogonal et distance — Terminale

Pour calculer la distance d'un point à un plan ou à une droite (hauteur d'un tétraèdre, volume).

Le projeté orthogonal $H$ de $M$ sur le plan $\mathcal{P}$ est l'intersection de $\mathcal{P}$ avec la droite passant par $M$ de vecteur directeur $\vec n$ (normal à $\mathcal{P}$). La distance de $M$ à $\mathcal{P}$ est $MH$, la plus petite distance de $M$ à un point de $\mathcal{P}$.

1. Droite $(MH)$ : point $M$, vecteur directeur $\vec n$.
2. Intersection avec $\mathcal{P}$ ⇒ paramètre $t$ ⇒ $H$.
3. Distance $MH = |t| \times \|\vec n\|$.
4. Projeté sur une droite : $H \in d$ et $\overrightarrow{MH} \cdot \vec u = 0$.

$M(1 ; 2 ; 3)$, $\mathcal{P}$ : $z = 0$ : $H(1 ; 2 ; 0)$, $MH = 3$. $M(1;1;1)$, $\mathcal{P}$ : $x + y + z = 0$ : $x = y = z = 1 + t$, $3 + 3t = 0$, $t = -1$, $H = O$, $MH = \sqrt3$.

Le vecteur directeur de $(MH)$ est le vecteur normal au plan.