Logarithme décimal — Terminale

Pour résoudre $10^x = b$ ou $a^x = b$ (durée de doublement, seuil), et lire une échelle logarithmique (décibels, pH).

Pour $b > 0$, $\log b$ est l'unique solution de $10^x = b$ : $\log(10^n) = n$, $\log 1 = 0$, $\log 10 = 1$. $\log(ab) = \log a + \log b$, $\log\frac ab = \log a - \log b$, $\log(a^n) = n\log a$. $\log$ est strictement croissante sur $]0 ; +\infty[$.

1. $a^x = b$ ⇔ $x\log a = \log b$ ⇔ $x = \frac{\log b}{\log a}$.
2. Inéquation : si $\log a < 0$ ($a < 1$), le sens change en divisant.
3. Calcule à la calculatrice.

$1{,}05^n \geq 2$ ⇔ $n \geq \frac{\log 2}{\log 1{,}05} \approx 14{,}2$ : $n = 15$. $\log 1000 = 3$.

$\log(a + b) \neq \log a + \log b$ ; diviser par $\log a < 0$ inverse l'inégalité.