Fonctions x ↦ aˣ — Terminale

Pour modéliser une évolution à taux constant en temps continu (population, placement, décroissance radioactive).

Pour $a > 0$, $x \mapsto a^x$ prolonge la suite géométrique $(a^n)$ à tous les réels ; $a^x > 0$. Si $a > 1$ : strictement croissante ; si $0 < a < 1$ : strictement décroissante ; $a = 1$ : constante. $a^{x+y} = a^x a^y$, $a^{-x} = \frac{1}{a^x}$, $(a^x)^y = a^{xy}$. $x \mapsto ka^x$ a le sens de variation de $a^x$ si $k > 0$, l'inverse si $k < 0$.

1. Identifie $a$ (coefficient multiplicateur par unité de temps) et $k$ (valeur initiale).
2. Sens de variation : compare $a$ à 1, puis signe de $k$.
3. Taux moyen sur une période fractionnaire : $a^{1/n}$.

Population $f(t) = 2000 \times 1{,}03^t$ : croissante (+3 %/an). Taux mensuel équivalent : $1{,}03^{1/12} \approx 1{,}00247$ (+0,247 %).

$a^{-x} = \frac{1}{a^x}$, pas $-a^x$ ; une décroissance de 20 % correspond à $a = 0{,}8$.