k-uplets, arrangements, permutations — Terminale

Pour compter des codes, des tirages ordonnés, des classements.

Principe multiplicatif : $\text{Card}(A \times B) = \text{Card}A \times \text{Card}B$. Nombre de $k$-uplets d'un ensemble à $n$ éléments : $n^k$ (ordre, répétition). $k$-uplets d'éléments distincts : $n(n - 1)\cdots(n - k + 1) = \frac{n!}{(n - k)!}$ (ordre, sans répétition). Permutations : $n!$. Parties d'un ensemble à $n$ éléments : $2^n$.

1. L'ordre compte-t-il ? Les répétitions sont-elles permises ?
2. Ordre + répétition : $n^k$ ; ordre sans répétition : $\frac{n!}{(n-k)!}$ ; sans ordre : combinaisons.

Code de 4 chiffres : $10^4$. Podium de 3 parmi 8 coureurs : $8 \times 7 \times 6 = 336$. Ranger 5 livres : $5! = 120$.

Bien identifier si l'ordre compte et si les répétitions sont possibles.