Factorielle : définition et propriétés — Terminale

Dès que tu comptes des arrangements, permutations ou que tu calcules des coefficients binomiaux $\binom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!(n-k)!}$.

$0! = 1$ ; $n! = n \times (n-1)!$ pour $n \geq 1$. Les factorielles croissent très vite : $10! = 3\,628\,800$.

Pour tout entier $n \geq 1$ : $n! = n \times (n-1) \times \cdots \times 2 \times 1$. Par convention $0! = 1$. Propriété fondamentale : $(n+1)! = (n+1) \times n!$. Relation utile : $\dfrac{n!}{(n-k)!} = n(n-1)\cdots(n-k+1)$ ($k$ facteurs).

$5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$. Simplification : $\dfrac{7!}{5!} = 7 \times 6 = 42$.

Ne pas oublier $0! = 1$ (pas $0$). Évite de tout développer : simplifie $\dfrac{n!}{(n-2)!}$ directement en $n(n-1)$ sans calculer chaque factorielle.