Théorème de la limite monotone — MPSI à PTSI

Pour prouver qu'une suite converge sans connaître sa limite.

Toute suite croissante et majorée converge (vers sa borne supérieure).

Croissante non majorée $\Rightarrow$ elle tend vers $+\infty$.

$u_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k^2}$ : Croissante ; $\frac{1}{k^2} \leq \frac{1}{k-1} - \frac{1}{k}$ donne $u_n \leq 2$. ⇒ $(u_n)$ converge.

Le théorème donne l'existence de la limite, pas sa valeur ; et « majorée par 2 » ne veut pas dire « tend vers 2 ».