Suites adjacentes — MPSI à PTSI

Pour encadrer une limite par deux suites et prouver leur convergence commune.

Si $(u_n)$ croît, $(v_n)$ décroît et $v_n - u_n \to 0$, alors elles convergent vers une même limite $\ell$, avec $u_n \leq \ell \leq v_n$.

$u_n = \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!}$, $v_n = u_n + \frac{1}{n \cdot n!}$ : $(u_n)$ croît, $(v_n)$ décroît, $v_n - u_n \to 0$. ⇒ Limite commune $e$.

Il faut les trois hypothèses : les monotonies et $v_n - u_n \to 0$.