Sommes doubles et interversion — MPSI

Pour calculer une somme indexée par deux indices, souvent sur un triangle $i \leq j$.

$\sum_{1 \leq i \leq j \leq n} a_{i,j} = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=i}^{n} a_{i,j} = \sum_{j=1}^{n} \sum_{i=1}^{j} a_{i,j}$

1. Dessiner le domaine des indices.
2. Choisir l'ordre de sommation qui rend la somme intérieure calculable.

$\sum_{1 \leq i \leq j \leq n} 1$ : $= \sum_{j=1}^{n} j$ ⇒ $= \frac{n(n+1)}{2}$

En intervertissant sur un triangle, les bornes changent : on ne permute pas simplement les symboles.