Sommes télescopiques — MPSI à PTSI

Pour calculer une somme dont le terme général s'écrit comme une différence $a_{k+1} - a_k$.

$\sum_{k=0}^{n} (a_{k+1} - a_k) = a_{n+1} - a_0$

1. Écrire le terme général comme $a_{k+1} - a_k$ (souvent par éléments simples).
2. Tout se simplifie sauf le premier et le dernier terme.

$\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)}$ : $\frac{1}{k(k+1)} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}$ ⇒ $= 1 - \frac{1}{n+1}$

Vérifier les indices extrêmes : un décalage d'indice change le terme restant.