Raisonnement par analyse-synthèse — MPSI à PTSI

Pour prouver l'existence et l'unicité d'un objet, ou trouver toutes les solutions d'un problème.

Analyse : on suppose qu'une solution existe et on en déduit sa forme (conditions nécessaires) → unicité.

Synthèse : on vérifie que l'objet trouvé convient → existence.

1. Analyse : supposer $x$ solution, en déduire une expression de $x$.
2. Synthèse : vérifier que cette expression est bien solution.
3. Conclure : existence et unicité.

Toute $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ s'écrit $f = p + i$, $p$ paire, $i$ impaire : Analyse : $p(x) = \frac{f(x)+f(-x)}{2}$, $i(x) = \frac{f(x)-f(-x)}{2}$. ; Synthèse : $p$ est paire, $i$ impaire, $p + i = f$. ⇒ Décomposition unique.

L'analyse seule donne l'unicité, pas l'existence : ne jamais oublier la synthèse.