Décomposition en cycles et signature — MPSI

Pour calculer la signature d'une permutation.

Toute permutation se décompose en cycles à supports disjoints. Un $k$-cycle a pour signature $(-1)^{k-1}$ ; $\varepsilon(\sigma\tau) = \varepsilon(\sigma)\varepsilon(\tau)$.

$\sigma = (1\,3\,5)(2\,4)$ : $\varepsilon = (-1)^2 \cdot (-1)^1$ ⇒ $\varepsilon(\sigma) = -1$

Une transposition a une signature $-1$ ; un $k$-cycle est produit de $k - 1$ transpositions.