Convergence monotone — Terminale

Pour prouver qu'une suite converge sans connaître sa limite (souvent avant de la calculer comme point fixe).

Toute suite croissante et majorée converge ; toute suite décroissante et minorée converge. Une suite croissante non majorée tend vers $+\infty$. Si $u_n$ croissante converge vers $\ell$, alors $u_n \leq \ell$ pour tout $n$.

1. Étudie le sens de variation ($u_{n+1} - u_n$, récurrence…).
2. Trouve un majorant (ou minorant), souvent par récurrence.
3. Conclus : la suite converge (la limite n'est pas forcément le majorant trouvé).

$u_0 = 1$, $u_{n+1} = \sqrt{u_n + 2}$ : on montre par récurrence $1 \leq u_n \leq u_{n+1} \leq 2$ ; elle converge (vers 2).

La limite n'est pas forcément le majorant trouvé : $1 - \frac1n$ est majorée par 5 mais tend vers 1.