Points critiques et extrema — MPSI à PTSI

Pour chercher le maximum ou le minimum d'une fonction de deux variables.

Sur un ouvert, un extremum local d'une fonction $\mathcal{C}^1$ est un point critique : $\nabla f(a) = 0$. La réciproque est fausse.

1. Résoudre $\partial_x f = \partial_y f = 0$.
2. Étudier le signe de $f(a + h) - f(a)$ près de chaque point.
3. Conclure : extremum local ou point col.

$f(x,y) = x^2 + y^2 - 2x$ : $\nabla f = 0 \iff (x,y) = (1,0)$ ; $f = (x-1)^2 + y^2 - 1$ ⇒ Minimum global $-1$ en $(1,0)$.

$f(x,y) = x^2 - y^2$ : point critique en $(0,0)$ mais pas d'extremum (point col).