Le nombre d'or φ : origine et mystère — 4ème à Terminale

En géométrie (pentagone régulier, rectangle d'or), en suite (Fibonacci), en art et architecture (Parthénon, spirales). On le croise dès la 4e avec les suites et la géométrie.

$\varphi = \dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$ est l'unique nombre vérifiant $\varphi^2 = \varphi + 1$, ou encore $\varphi = 1 + \dfrac{1}{\varphi}$. Son conjugué est $\psi = \dfrac{1-\sqrt{5}}{2} \approx -0{,}618$, et on a $\varphi \times (-\psi) = 1$.

Le nombre d'or $\varphi$ est la solution positive de $x^2 = x + 1$, soit $\varphi = \dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \approx 1{,}618$. On l'obtient aussi comme limite du rapport de deux termes consécutifs de la suite de Fibonacci : $\dfrac{F_{n+1}}{F_n} \to \varphi$. Géométriquement, c'est le rapport $\frac{a}{b}$ tel que $\frac{a}{b} = \frac{a+b}{a}$ (un segment est au grand morceau ce que le grand morceau est au tout).

Suite de Fibonacci : $1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, \ldots$ Les rapports $\frac{2}{1}=2$, $\frac{3}{2}=1{,}5$, $\frac{5}{3}\approx 1{,}667$, $\frac{8}{5}=1{,}6$, $\frac{13}{8}=1{,}625$, … se rapprochent de $\varphi \approx 1{,}618$.

$\varphi$ n'est pas égal à $1{,}618$ : c'est un irrationnel, comme $\sqrt{2}$ ou $\pi$. Et contrairement à une idée reçue, sa présence dans l'art ou la nature est souvent exagérée ou non prouvée scientifiquement.