Coordonnées dans une base orthonormée — MPSI à PT

Pour obtenir coordonnées, produit scalaire et norme sans résoudre de système.

Si $(e_i)$ est orthonormée : $x = \sum \langle x, e_i \rangle e_i$, $\langle x, y \rangle = \sum x_i y_i$, $\|x\|^2 = \sum x_i^2$.

$e_1 = \frac{1}{\sqrt{2}}(1,1)$, $e_2 = \frac{1}{\sqrt{2}}(1,-1)$, $x = (3,1)$ ⇒ $x = 2\sqrt{2}\,e_1 + \sqrt{2}\,e_2$

Valable seulement pour une base orthonormée, pas seulement orthogonale.