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Paul Dusse

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1re · Exponentielle

La 4ème étape m'a détruit

Exponentielle et suite — Étude de f et de (uₙ)

ff est strictement croissante sur R+\mathbb{R}_+.

ff est strictement décroissante sur R+\mathbb{R}_+.

ff est constante sur R+\mathbb{R}_+.

ff est croissante puis décroissante sur R+\mathbb{R}_+.

1reExponentielle

Exponentielle et suite — Étude de f et de (uₙ)

Exercice 3 — Exponentielle et suite

A. Étude de fonction

On considère la fonction ff définie sur R+\mathbb{R}_+ par f(x)=−2e−xf(x) = -2e^{-x}.

  1. Conjecturer les variations de ff.
  2. Démontrer la conjecture.

B. Étude de suite

Abdel plante un arbuste mesurant 11 m. La hauteur (en mètres) après nn semaines est donnée par :

un=−2e−n+3u_n = -2e^{-n} + 3

  1. Vérifier la cohérence avec la hauteur initiale.

  2. La croissance est-elle linéaire ? Justifier.

    a) Montrer que un+1−un=2e−n(1−1e)u_{n+1} - u_n = 2e^{-n}\left(1 - \dfrac{1}{e}\right)

    b) En déduire que la hauteur augmente toutes les semaines.

  3. a) Placer les points (n ; un)(n\,;\,u_n) sur le graphique. Expliquer la démarche pour (2 ; u2)(2\,;\,u_2).

    b) Quelle semble être la limite de (un)(u_n) ? L'interpréter concrètement.

Question

En observant la courbe de ff, quelle conjecture peut-on formuler sur ses variations ?